Autor Tema: Son perpendiculares

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17 Octubre, 2017, 01:26 pm
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Michel

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Sea un trapecio isósceles.
Demostrar que si la altura y la paralela media son iguales, las diagonales son perpendiculares.
¿Es cierto el teorema recíproco'
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

17 Octubre, 2017, 02:22 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Sea un traoecio isósceles.
Demostrar que si la altura y la paralela media son iguales, las diagonales son perpendiculares.
¿Es cierto el teorema recíproco'

La clave del asunto está en que:

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En un trapecio isósceles, las proyecciones de las diagonales sobre las bases son iguales a la paralela media. A partir de aquí se demuestra fácilmente la doble implicación pedida.
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Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

17 Octubre, 2017, 09:49 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Hola. Otra manera similar.

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Si construimos un cuadrado centrado en el trapecio de lado su altura, entre sus bases B y b ( cuadrado rojo discontinuo).

Si ahora hacemos una traslación de las diagonales en dirección paralela a las bases y sentidos opuestos  y de módulo \( \displaystyle\frac{B-b}{4} \)

Es fácil ver que coinciden con las diagonales del cuadrado, por ser el trapecio isóseles y la semisuma de las bases igual a la altura, es decir los triángulos ABCA'B'C' son iguales.
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Saludos.


Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

18 Octubre, 2017, 12:06 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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La idea es básicamente la misma

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En efecto, se tiene que la paralela media es m = \displaystyle\frac{a + c}{2}.

Las proyecciónes de las diagonales sobre la altura coinciden con la propia altura. Proyectando una diagonal sobre la base, se tiene que

\( Proyec_a(d) = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} c = m \)

Las proyecciones de las diagonales sobre la base y la altura, que son perpendiculares, son iguales, por lo que las diagonales forman ángulos de \( 45^\circ{} \) con las bases y son perpendiculares entres si.

Y al contrario, si son perpendiculares entre si, forman ángulos de \( 45^\circ{} \) con las bases y sus proyecciones sobre bases y altura son iguales, por lo que la paralela media resulta igual a la altura.

Pueden desplazarse los vértices \( A\textrm{ y }B \) y el punto medio del lado \( \overline{CD} \)

En definitiva, los trapeciso isósceles son equimedianos si y solo si son ortodiagonales.

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