Autor Tema: Cuadrados

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16 Octubre, 2017, 10:03 am
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Michel

  • Lathi
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Sea el cuadrado ABCD, de lado 3, y P un punto en su interior.
Sean G1, G2, G3, G4 los baricentros de los triángulos PAB, PBC, PCD, PDA, respectivamente.
¿Qué figura es G1G2G3G4?
Hallar su área,
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

16 Octubre, 2017, 11:52 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Sea el cuadrado ABCD, de lado 3, y P un punto en su interior.
Sean G1, G2, G3, G4 los baricentros de los triángulos PAB, PBC, PCD, PDA, respectivamente.
¿Qué figura es G1G2G3G4?
Hallar su área,

El punto P puede ser cualquier punto del plano, que nada cambia. Incluso, cualquier punto del espacio ...

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

21 Octubre, 2017, 10:19 am
Respuesta #2

Michel

  • Lathi
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Por la propiedad del baricentro y el teorema de Thales, se demuestra que G1G2 y G3G4 son iguales y paralelos a la diagonal AC, y que G1G2=AC/3.
Análogamente para los otros lados.
Entonces el lado del cuadrado interior vale 1/3 de la diagonal del cuadrado dado.

\( G1G2=\displaystyle\frac{AC}{3}=\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2}}{2} \)

El área valdrá 9/2
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

21 Octubre, 2017, 09:29 pm
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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Por la propiedad del baricentro y el teorema de Thales, se demuestra que G1G2 y G3G4 son iguales y paralelos a la diagonal AC, y que G1G2=AC/3.
Análogamente para los otros lados.
Entonces el lado del cuadrado interior vale 1/3 de la diagonal del cuadrado dado.

\( G1G2=\displaystyle\frac{AC}{3}=\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2}}{2} \)

El área valdrá 9/2

Ahí hay un gazapillo: En realidad es \( G1G2=\displaystyle\frac{AC}{3}=\displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{2}}{3} \) y el área pedida es 2.

También puede verse teniendo en cuenta que el cuadrilátero pedido es el resultado de una homotecia de centro \( P \) y razón \( \frac{2}{3} \) del cuadrado cuyos vértices son los puntos medios de los lados.

Como decía en el otro mensaje, puede dejarse que el punto \( P \) sea cualquier punto del plano o del espacio.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Octubre, 2017, 05:41 pm
Respuesta #4

Michel

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Efectivamente hay un gazapillo.

Y también hay otro en el de máximos y mínimos (a+b=14, no 15). El 4 y el 5 están tan cerca.... Igual que la b y la v (esto es más peligroso).

Muy merecida tu licencia de caza.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker