Autor Tema: Diferencia de áreas. Rectificado el enunciado

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04 Octubre, 2017, 09:16 am
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Michel

  • Lathi
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En el triángulo ABC, D y E son los puntos medios de los lados AB y AC, respectivamente.
El área de ACD vale 8.
Las rectas BE y CD se cortan en F.
Hallar la diferencia de las áreas de los triángulos BCF y DEF

Perdón por el error.

¿Por qué no intentas hacerlo sin trigonometría?

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

04 Octubre, 2017, 09:20 am
Respuesta #1

Masacroso

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¿Y F qué es? Yo creo que el problema, aclarando lo de F, es una utilización del teorema del coseno.

EDITO: supongo que F es el punto medio de BC.

05 Octubre, 2017, 12:54 am
Respuesta #2

hméndez

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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En el triángulo ABC, D y E son los puntos medios de los lados AB y AC, respectivamente.
El área de ACD vale 8.
Las rectas BE y CD se cortan en F.
Hallar la diferencia de las áreas de los triángulos BCF y DEF

Perdón por el error.

¿Por qué no intentas hacerlo sin trigonometría?

Saludos.



Hola Michel... aquí va una solución.

Dado que D y E son puntos medios de los lados AB y AC respectivamente, entonces CD y BE son medianas
y F baricentro del triangulo ABC. Trazamos la mediana AG, y el triangulo queda dividido en 6 áreas de igual
tamaño \( S1 \) (esto por propiedades de las medianas de un triángulo).

Por otra parte tenemos que el área ACD vale 8 y es una de las dos áreas iguales en las que la mediana CD
divide al triángulo. De aquí tenemos:

Area total triángulo ABC\( =16\longrightarrow{S1=\displaystyle\frac{16}{6}=\displaystyle\frac{8}{3}} \)   
Area triángulo BCF\( =2S1=\displaystyle\frac{16}{3} \)

Para el area del triángulo DEF observemos que los triángulos DEF y BCF son semejantes por tener un ángulo igual
(ángulo F opuesto por el vértice) comprendido entre lados proporcionales.

\( \displaystyle\frac{FD}{FC}=\displaystyle\frac{FE}{FB}=\displaystyle\frac{1}{2} \)
 
(pues el baricentro divide a la mediana en segmentos que están en razón de 1:2).

De esto tenemos que la razón de semejanza entre áreas de los triángulos DEF y BCF es de 1:4.

Area DEF\( =\displaystyle\frac{1}{4}\times{}\displaystyle\frac{16}{3}=\displaystyle\frac{4}{3} \)

La diferencia de las áreas es \( \displaystyle\frac{16}{3}-\displaystyle\frac{4}{3}=4 \).

Saludos

P.D. Michel... Hay que hacer que estos temas no queden rezagados en la "lista de mensajes recientes" >:(