Autor Tema: Circunferencia por dos puntos y tangente a una recta

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02 Octubre, 2017, 12:41 am
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Ignacio Larrosa

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A raíz de un consulta reciente, en la que se trataba resolver la cuestión con Geometría Analítica, propongo resolverla aquí con regla y compás. Se trata de hallar la circunferencia que pasa por dos puntos \( P \) y \( Q \) dados y es tangente a una recta \( r \). Discusión incluida.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

03 Octubre, 2017, 05:42 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola maestro Ignacio

Yo compartí el enlace a un vídeo de esta construcción, la copio aquí

Sean P, Q dos puntos dados y \( l \) la recta dada.

Hay tres casos:
-. P y Q pertenecen a lados distintos de  \( l \), no tenemos solución, porque toda circunferencia que contenga a P y Q cortará la recta.
-. Uno de los puntos dados pertenece a  \( l \), en este caso tenemos una solución, cuya construcción es sencilla, el centro de la circunferencia es la intersección de la perpendicular a la recta que pasa por el punto contenido en la misma y la mediatriz del segmento PQ.

-. P y Q están al mismo lado de \( l \) (ninguno de ellos pertenece a  \( l \)), entonces hay dos soluciones.Esta es la construcción enlazada y ahora copio los pasos a seguir.Pensádolo bien, si la recta PQ es paralela a la dada solo tenemos una solución, trazamos la mediatriz del segmento PQ, llamemos I al punto de intersección de esta mediatriz con la recta dada. Luego el centro de la circunferencia será la intersección de la primera mediatriz y la mediatriz del segmento Ip (ó del segmento IQ) .

Pasos


1-. Trazamos la recta PQ y llamamos I al punto de intersección con la recta dada.
2-. Trazamos la mediatriz m del segmento PQ, los centro de las circunferencias buscadas estarán contenidos en esta.
3-. Construimos una circunferencia auxiliar con centro en C que pase por P y Q.
4-. Ahora marcamos sobre la circunferencia auxiliar los puntos de tangencia A,B de las rectas que contienen a I.
5-. Trazamos la circunferencia centrada en I que contiene los puntos A y B, y marcamos sus intersecciones con la recta dada con T1 y T2.
6-. Los centros de las circunferencias buscadas serán las intersecciones de las normales a la recta dada que contienen a T1 y T2 con la mediatriz del segmento PQ.
7-. Finalmente trazamos las circunferencias pedidas.






Yo debo estudiar ¿Por qué funcionan los pasos 3 al 5? según el vídeo tiene que ver con la potencia del punto I, ya veré.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

03 Octubre, 2017, 07:25 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Pasos


1-. Trazamos la recta PQ y llamamos I al punto de intersección con la recta dada.
2-. Trazamos la mediatriz m del segmento PQ, los centro de las circunferencias buscadas estarán contenidos en esta.
3-. Construimos una circunferencia auxiliar con centro en C que pase por P y Q.
4-. Ahora marcamos sobre la circunferencia auxiliar los puntos de tangencia A,B de las rectas que contienen a I.
5-. Trazamos la circunferencia centrada en I que contiene los puntos A y B, y marcamos sus intersecciones con la recta dada con T1 y T2.
6-. Los centros de las circunferencias buscadas serán las intersecciones de las normales a la recta dada que contienen a T1 y T2 con la mediatriz del segmento PQ.
7-. Finalmente trazamos las circunferencias pedidas.

Yo debo estudiar ¿Por qué funcionan los pasos 3 al 5? según el vídeo tiene que ver con la potencia del punto I, ya veré.


La recta PQ es el eje radical de las dos circunferencias solución y de la auxiliar, pues pasa por sus puntos de corte. La potencia de I respecto de las tres, y por tanto la longitud de las tangentes, es entonces la misma.

P.S.: Lo del GIF animado e sun poco horrible ¿no?. Mejor algo que se puede animar  a voluntad o pararlo, me resulta de lo más estresante ... :P :P

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

03 Octubre, 2017, 07:53 pm
Respuesta #3

ingmarov

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...
La recta PQ es el eje radical de las dos circunferencias solución y de la auxiliar, pues pasa por sus puntos de corte. La potencia de I respecto de las tres, y por tanto la longitud de las tangentes, es entonces la misma.
...


¡¡¡Ahhh!!! ya lo veo, la distancia desde I a los puntos de tangencia de todas las circunferencias que contienen a P y Q, es constante. Gracias maestro Ignacio   :aplauso: :aplauso: :aplauso:



...
P.S.: Lo del GIF animado e sun poco horrible ¿no?. Mejor algo que se puede animar  a voluntad o pararlo, me resulta de lo más estresante ... :P :P

Saludos,

Sí, ha de ser estresante, pero prefiero usar gif a geogebra porque cuando entro a una página con applet de Geogebra con el móvil es "estresante", la página tarda mucho en cargar y al intentar revisar la applet ya no puedo moverme en la página (y no puedo revisar nada). Pero al entrar desde el ordenador la applet es simplemente hermosa y perfecta.

¡Saludos maestro!
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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04 Octubre, 2017, 01:15 am
Respuesta #4

manooooh

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¡¡Orgulloso de ver el ejercicio en forma general que propuse expuesto por el maestro Ignacio!!

Sinceramente yo no puedo aportar mucho a lo que han comentado más arriba porque no tengo conocimientos específicos en esa rama, pero ¡qué interesante!

Saludos.

04 Octubre, 2017, 03:51 am
Respuesta #5

ingmarov

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Sinceramente yo no puedo aportar mucho a lo que han comentado más arriba porque no tengo conocimientos específicos en esa rama,...

Pues Michel ha comentado que, desgraciadamente, la geometría sintética ha ido desapareciendo de los planes de estudio, aunque es fácil ver que es una potente herramienta para resolver este tipo de problemas. Si te parece interesante te invito a participar en esta sección del foro, se puede aprender mucho de ella, esto lo digo por experiencia.

Mich hizo un resumen teórico aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=60679.0

Saludos amigos.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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04 Octubre, 2017, 06:05 am
Respuesta #6

manooooh

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Sinceramente yo no puedo aportar mucho a lo que han comentado más arriba porque no tengo conocimientos específicos en esa rama,...

Pues Michel ha comentado que, desgraciadamente, la geometría sintética ha ido desapareciendo de los planes de estudio, aunque es fácil ver que es una potente herramienta para resolver este tipo de problemas. Si te parece interesante te invito a participar en esta sección del foro, se puede aprender mucho de ella, esto lo digo por experiencia.

Mich hizo un resumen teórico aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=60679.0

Saludos amigos.

Un resumen bien completo. Gracias por el aporte.