Autor Tema: Se prolongan los lados

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02 Agosto, 2017, 05:05 pm
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Michel

  • Lathi
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En un triángulo ABC se prolongan, en el mismo sentido, los lados en una longitud igual a su mitad.
Los extremos de las prolongaciones forman el triángulo A'B'C'.
Hallar el área de este triángulo en función del área S del triángulo dado.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

02 Agosto, 2017, 06:34 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola Mich

Para confirmar que entendí bien, dime si esta es la figura correspondiente,




Si es así, Kkkk! en mi pais algunos dirían "esta macaneado (difícil)" no se me ocurre cómo iniciar.

Pero se puede utilizar el teorema de Routh, o no

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Routh


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

02 Agosto, 2017, 10:55 pm
Respuesta #2

Michel

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Efectivamente ésa es la figura.

Si trazas tres segmentos (¿cuáles?), puedes observar que hay pares de tiángulos con la misma altura y bases....

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

03 Agosto, 2017, 12:02 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Efectivamente ésa es la figura.

Si trazas tres segmentos (¿cuáles?), puedes observar que hay pares de triángulos con la misma altura y bases....

Saludos.

Yo lo veo así:

Spoiler
Añadiendo tres pares de segmentos se obtienen tres ternas de triángulos adicionales al inicial, donde los triángulos de cada terna tienen la misma base y la misma altura.
[cerrar]

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

03 Agosto, 2017, 10:21 am
Respuesta #4

Michel

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Propongo esta solución.


Los triángulos ABC y ACB' tienen la misma altura h, y la base CB' del segundo es la mitad de la base BC del primero, por lo que si (ABC)=S, será (ACB')=S/2.

Por un razonamiento análogo con los trángulos ACB' y AB'C', será (AB'C')=(ACB')/2=S/4

Análogamente para los otros triángulos alrededor de ABC.

Se obtienen, por tanto, tres triángulos de área S/2 y otros tres de área S/4.

Resulta (A'B'C')=S+3S/2+3S/4=13S/4=13(ABC)/4.

La relación pedida. es 13/4



Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

03 Agosto, 2017, 01:01 pm
Respuesta #5

Ignacio Larrosa

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Propongo esta solución.

La mía es básicamente la misma:



Pueden desplazarse los vértices A, B y C.

Obsérvense la relación entre los segmentos que unen los vérices correspondientes de ambos triángulos con los lados del ABC, y la proporción en que las prolongaciones de los lados del ABC cortan a los de A'B'C'. ¿Demostración?

Conocido esto, se puede aplicar el teorema de Routh  a A'B'C' con \( p = q = r = \dfrac{1}{4} \) para obtener la relación de áreas.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)