Autor Tema: Algún ejemplo de vector tangente en Variedades?

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22 Junio, 2017, 01:50 pm
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raistlin

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No acabo de ver esto:

En \( {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \) podemos visualizar un vector \( {\displaystyle X_{p}=(a^{1},\cdots ,a^{n})} \) como un operador \( {\displaystyle X_{p}:C^{\infty }(p)\longrightarrow \mathbb {R} } \)  que actúa sobre una función \( {\displaystyle f\in C^{\infty }(p)} \) diferenciable en un entorno cualquiera de p, y nos devuelve su derivada en la dirección marcada por \( {\displaystyle X_{p}} \):

\( {\displaystyle X_{p}(f)=\sum {a^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}}  \)

Alguien podría ponerme algún ejemplo sencillito?

Muchas gracias  :)

22 Junio, 2017, 09:42 pm
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola raistlin.

 En todo este mensaje trabajaré con la variedad \( \mathbb{R}^{n} \) en lugar de una variedad arbitraria. En este caso, lo que más o menos dice el enunciado que muestras es que fijado un punto \( p\in\mathbb{R}^{n}, \) cada vector de la forma \( X_{p}=(a^{1},\dots,a^{n}) \) puede asociarse a la derivada direccional (usual en \( \mathbb{R}^{n} \)) en el punto \( p \) en la dirección de \( X_{p}. \) Por ejemplo si estamos en \( \mathbb{R}^{3}, \) \( p=(1,2,3) \) y \( X_{p}=(0,2,-1) \) entonces \( X_{p}:C^{\infty}(p)\to\mathbb{R} \) está definido por

\( \displaystyle X_{p}(f)=0\cdot\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2,3)+2\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,2,3)-1\cdot\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,2,3). \)

 Ten en cuenta que los elementos de \( C^{\infty}(p) \) son en realidad clases de funciones que son diferenciables en un entorno de \( p. \) Es común hacer un abuso de notación y denotar a los elementos de \( C^{\infty}(p) \) como si fueran funciones. Entonces, por ejemplo, si en nuestro anterior ejemplo tomamos \( f\in C^{\infty}\big((1,2,3)\big) \) definida por \( f(x,y,z)=x+\sen y+xz^{2} \) (en realidad estamos tomando la clase de esta función al rededor del punto \( p=(1,2,3) \)) tendremos que

\( X_{p}(f)=2\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,2,3)-\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,2,3)=(2\cos y-2xz)|_{(x,y,z)=(1,2,3)}=2\cos 2-6. \)

Y lo mismo pasa si aplicamos \( X_{p} \) a cualquier otro elemento de \( C^{\infty}\big((1,2,3)\big). \)

 Para complementar, digamos que esta es una forma de ver a las derivadas direccionales en un punto \( p \) como operadores que actúan sobre el germen de funciones diferenciables en \( p. \) Esta forma de ver las derivadas direccionales ayuda a que después se pueda ver por ejemplo a los campos vectoriales como aplicaciones \( X:\mathbb{R}^{n}\to{\cal L}\big(C^{\infty}(\cdot),\mathbb{R}\big) \) (donde estoy denotando por \( {\cal L}\big(C^{\infty}(p),\mathbb{R}\big) \) a los operadores que se describe en tu mensaje). Este punto de vista es conveniente cuando se trabaja en contextos más generales que \( \mathbb{R}^{n} \) como superficies diferenciables o variedades. En nuestro ejemplo la variedad que estamos considerando es el espacio \( \mathbb{R}^{3}. \)

 Si tienes cualquier duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Mensaje Editado.

23 Junio, 2017, 12:29 pm
Respuesta #2

raistlin

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Sigo sin entenderlo..

a ver, se que sale de aquí:

Sea M una variedad diferenciable, una función diferenciable c es una curva diferenciable en M y sea D el conjunto de funciones sobre M que son diferenciables en p. El vector tangente a la curva c en t=0 es:
\( c'(0)f=\displaystyle\frac{d(f\circ{c})}{dt} \) en t=0

Pero ahí ya no entiendo nada, no se que pintan las f ya que el vector tangente a una curva debería ser \( c'(0)=\displaystyle\frac{d(c)}{dt} \) en t=0. Simplemente no? y luego si te da por hacer una parametrización \( f(u,v):\mathbb{R^2}\rightarrow{\mathbb{R}} \) se escribe asi?
seria \( c'(0)=\displaystyle\frac{d(c(u,v))}{dt}=\displaystyle\frac{dc}{du}\displaystyle\frac{du}{dt}+\displaystyle\frac{dc}{dv}\displaystyle\frac{dv}{dt} \)
no?

27 Junio, 2017, 04:34 pm
Respuesta #3

EnRlquE

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Hola raistlin.

 ¿Podrías ser más específico en cuál es tu duda? A lo que haces referencia en tu último mensaje es a una forma de ver un vector tangente en una variedad diferenciabl; pero lo que preguntas al inicio de este hilo es sobre cómo interpretar un vector de \( \mathbb{R}^{n} \) como una derivación.

 Sospecho que tu duda tiene que ver con interpretar a los vectores tangentes a una variedad en un punto como una derivación, pero no estoy seguro lo que necesitas probar ¿necesitas ver cómo es que funciona la equivalencia entre las dos nociones? o ¿necesitas comprender mejor el ejemplo que te dí en mi anterior mensaje? Trata de ser lo más específico que puedas y vemos cómo ayudarte.

Saludos,

Enrique.

28 Junio, 2017, 11:27 am
Respuesta #4

raistlin

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Hola enrique,

Pues un poco de todo, la equivalencia la veo (o eso creo) mi duda estaría mas en lo del segundo mensaje, la forma de ver un vector tangente en una variedad.

Gracias y saludos

28 Junio, 2017, 10:58 pm
Respuesta #5

EnRlquE

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La idea de vector tangente en una variedad es generalizar la noción que se tiene en superficies contenidas en algún espacio \( \mathbb{R}^{n}. \) La principal dificultad es que una variedad diferenciable no "vive" en ningún espacio ambiente, entonces hay que encontrar alguna forma intrínseca de definir a un vector tangente.

 Una forma es la que comentas en tu segundo mensaje. Si \( M \) es nuestra variedad diferenciable y \( p\in M \) entonces dada una curva diferenciable \( \alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M \) tal que \( \alpha(0)=p \) tenemos que si \( \phi:U_{p}\to\mathbb{R}^{n} \) es una carta de la variedad en un entrno \( U_{p} \) de \( p, \) queda definido el vector \( v_{\alpha}:=(\phi\circ\alpha)'(0)\in\mathbb{R}^{n}. \) Entonces podemos considerar la familia de curvas \( [\alpha]:=\{\beta:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M: \beta(0)=p,\; v_{\beta}=v_{\alpha}\} \) y de esta forma definimos una clase de equivalencia en la familia de curvas diferenciables \( \theta:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M \) tales que \( \theta(0)=p. \) Cada una de estas clases de equivalencia es un vector tangente a \( M \) en \( p. \) Puede mostrarse que las clases de equivalencia no cambian si cambiamos la carta \( \phi \) por otra. Esta es una forma de ver a un vector tangente a una variedad en un punto.

 Otra forma diferente es pensar que un vector \( V \) tangente a \( M \) en \( p \) es un operador con valores reales que actúa en el álgebra de gérmenes de funciones reales de la variedad en \( p\in M, \) que denotaré por \( {\cal C}(p) \) (el que llamas \( C^{\infty}(p) \)). Desde este punto de vista \( V:{\cal C}(p)\to\mathbb{R} \) es un vector tangente a \( M \) en \( p \) siempre que \( V(af+bg)=aV(f)+bV(g) \) y \( V(fg)=f(p)V(g)+g(p)V(f) \) para todo \( a,b\in\mathbb{R} \) y todo par de germenes \( f,g\in{\cal C}(p). \)

 No se si esto ayude a despejar la duda que tienes. Como te mencioné antes existe una equivalencia entre estas dos formas de definir a un vector tangente, que según me dices la tienes más o menos clara. Si tienes alguna duda, pregunta. Trata de ser lo más específico que puedas para saber cómo responderte de la mejor manera que podamos.

Saludos,

Enrique.

11 Julio, 2017, 01:00 pm
Respuesta #6

raistlin

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