Autor Tema: Aclaración sobre una prueba del Volumen de Zona Esférica y Casquete Esférico

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29 Mayo, 2017, 07:52 pm
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roni

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Hola
No entiendo porque se pone 6 como denominador a la fórmula de la zona Esférica,ví un video donde se demuestra la fórmula pero cuando se puso el 6 como denominador me confundí y a partir de ahí no entiendo el video,si alguien me explica porque se puso el 6 como denominador y como se opera después de haberle puesto el 6 a la fórmula...
Acá les dejo el enlace del video Y también sería de ayuda si me explicaran como se consigue la fórmula del casquete esférico.
Desde ya gracias por leer mi mensaje.

29 Mayo, 2017, 08:57 pm
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Hola
No entiendo porque se pone 6 como denominador a la fórmula de la zona Esférica,ví un video donde se demuestra la fórmula pero cuando se puso el 6 como denominador me confundí y a partir de ahí no entiendo el video,si alguien me explica porque se puso el 6 como denominador y como se opera después de haberle puesto el 6 a la fórmula...
Acá les dejo el enlace del video Y también sería de ayuda si me explicaran como se consigue la fórmula del casquete esférico.
Desde ya gracias por leer mis mensaje.

No hace más que sumar las fracciones, y multiplica numerador y denominador por 2 porque le interesa que quede \( 2r_1\cdot{}r_2 \) en el numerador, para poder escribir posteriormente el cuadrado de la diferencia de \( r_1 - r_2 = h \).

Una demostración menos aparatosa del volumen del segmento esférico la tienes en Volumen del segmento esférico y de la esfera.

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

30 Mayo, 2017, 01:18 am
Respuesta #2

roni

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No entiendo como se opero la fracción dentro de los cuadros en azul
La imagen se puede descargar en archivo adjunto, es un screen del video donde marco en cuadros azules lo que no entiendo




30 Mayo, 2017, 01:51 am
Respuesta #3

Ignacio Larrosa

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No entiendo como se opero la fracción dentro de los cuadros en azul
La imagen se puede descargar en archivo adjunto, es un screen del video donde marco en cuadros azules lo que no entiendo



En la primera expresión que tienes recuadrada, se ha sacado \( \pi\cdot{}h \) faxtor común.

En la segunda se separa  \( 6R^2\;\textrm{   en   }\;3R^2+ 3R^2 \).

En la tercera se suman y se restan \( (r_1)^2\textrm{ y }(r_2)^2 \).

En la cuarta se agrupan los términos para hacer las sustituciones:

\( R^2 - (r_1)^2  \rightarrow{} a^2 \)

\( R^2 - (r_2)^2  \rightarrow{} b^2 \)

\( (r_1)^2 + (r_2)^2 - 2r_1\cdot{}r_2 \rightarrow{} (r_2 - r_1)^2 \)

Son simples manipulaciones algebraicas para dejar la expresión del volumen del segmento esférico en función de los radios de las dos bases y de la altura que las separa.

Saludos,
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30 Mayo, 2017, 02:23 am
Respuesta #4

roni

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No entiendo como él lo hizo,como no hay videos en español sobre esto,para mi es muy difícil entender
Si puedes te pido que me ayudes escribiendo en un papel la ecuación desde el inicio indicando paso por paso
En el factor común no entiendo de donde aparecieron todos esos 2 y luego como esos 2 se transformaron en 3
No entiendo y deseo mucho entender ya que estoy estudiando por mi cuenta para ingresar en el Instituto
Desde ya muchas gracias por responder

30 Mayo, 2017, 10:12 am
Respuesta #5

Ignacio Larrosa

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No entiendo como él lo hizo,como no hay videos en español sobre esto,para mi es muy difícil entender
Si puedes te pido que me ayudes escribiendo en un papel la ecuación desde el inicio indicando paso por paso
En el factor común no entiendo de donde aparecieron todos esos 2 y luego como esos 2 se transformaron en 3
No entiendo y deseo mucho entender ya que estoy estudiando por mi cuenta para ingresar en el Instituto
Desde ya muchas gracias por responder

Veamos ... Parto de la última expresión que tienes sin recuadrar, que dices que entendías hasta allí:

\( V_{SE} = \displaystyle\frac{6\pi h R^2 - 2\pi h(r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)}{6} \)

Eliminamos el paréntesis del numerador:

\( V_{SE} = \displaystyle\frac{6\pi h R^2 - 2\pi h r_1^2 -2\pi h r_2^2 -2\pi h r_1 r_2}{6} \)

Sacamos \( \pi h \) factor común en el numerador:

\( V_{SE} = \displaystyle\frac{\pi h(6R^2 - 2 r_1^2 -2 r_2^2 -2 r_1 r_2)}{6} \)

Sustituyo \( 6R^2 \rightarrow{} 3R^2 + 3R^2 \) (es indiferente en que posición los situemos, se ponen así para facilitar el agrupamiento posterior):

\( V_{SE} = \displaystyle\frac{\pi h(3R^2 - 2 r_1^2 + 3R^2 - 2 r_2^2 -2 r_1 r_2)}{6} \)

En el paréntesis, resto y sumo \( r_1^2\textrm{ y }r_2^2 \), de manera que reemplazo \( -2r_1^2 \rightarrow{} -3r_1^2 + r_1^2 \), e igualmente para \( r_2 \):

\( V_{SE} = \displaystyle\frac{\pi h(3R^2 - 3 r_1^2 + 3R^2 - 3 r_2^2 + r_1^2 + r_2^2 -2 r_1 r_2)}{6} \)

Agrupamos los dos primeros términos del paréntesis, sacando un 3 factor común, lo mismo que con los dos siguientes. Los tres últimos se agrupan como el cuadrado de una diferencia:

\( V_{SE} = \displaystyle\frac{\pi h(3(R^2 -  r_1^2) + 3(R^2 -  r_2^2) + (r_2 - r_1)^2)}{6} \)

Ahora tenemos en cuenta, observando la figura, que

\( a^2 = R^2 - r_1^2 \)

\( b^2 = R^2 - r_2^2 \)

\( h = r_2 - r_1 \)

Efectuamos estos reemplazos y nos queda finalmente:


\( V_{SE} = \displaystyle\frac{\pi h(3a^2 + 3b^2 + h^2)}{6} \)

Saludos.
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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30 Mayo, 2017, 08:33 pm
Respuesta #6

roni

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Gracias
No entiendo como se suman y restan y se reemplaza de 2(r1)2 a 3(r1)2+r1.Esa suma y resta y reemplazo no entiendo....
Y qué pasó del 2 en -2r1r2 cuando este se transformó en una diferencia de cuadrados?

30 Mayo, 2017, 08:44 pm
Respuesta #7

Ignacio Larrosa

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Gracias
No entiendo como se suman y restan y se reemplaza de 2(r1)2 a 3(r1)2+r1.Esa suma y resta y reemplazo no entiendo....
Y qué pasó del 2 en -2r1r2 cuando este se transformó en una diferencia de cuadrados?

Tienes que utilizar el \( \LaTeX \) porque son las normas del foro y porque no son así por capricho, sino porque de lo contrario no se entiende bien que es lo que quieres escribir.

Lo que se reemplaza es \( -2r_1^2 \rightarrow{} -3r_1^2 + r_1^2 \), que en definitiva es equivalente a reemplazar \( -2\textrm{ por }-3 + 1 \), que estarás de acuerdo en que es lo mismo.

En cuanto a lo del cuadrado de la diferencia, que no diferencia de cuadrados, desarrollala para comprobar que es lo mismo: \( (r_2 -r_1)^2 = r_2^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 \).

Saludos,
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