Autor Tema: *Cuadrado de área máxima

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02 Marzo, 2017, 01:35 pm
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Ignacio Larrosa

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"El cateto AB del triángulo rectángulo ABC mide 1. Determinar la longitud del cateto BC para que el área del cuadrado DEFG, con un lado en AB, un vértice en AC y el otro en el arco BB' interior al triángulo, de centro C y que pasa por B, tenga área máxima, y calcular esta área."



A disfrutarlo ...
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

06 Marzo, 2017, 07:28 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Spoiler
Completando el dibujo y llamando \( x \) al lado del cuadrado, \( b \) al cateto \( BC \) e \( y \) a la longitud del segmento \( EP \) se tiene que:



- En el triángulo \( CEP \): \( y^2+(b-x)^2=b^2 \).

- Los triángulos \( ABC \) y \( FPC \) son semejantes y así:

\( \dfrac{b}{b-x}=\dfrac{1}{x+y} \)

De ahí resolviendo:

\( x=f(b)=\dfrac{b}{1+2b+2b^2} \)

Derivando e igualando a cero se obtiene que el máximo se alcanza cuando \( b=\sqrt{2}/2 \).

En ese caso el área es:

\( x^2=f(\sqrt{2}/2)^2=\ldots=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
[cerrar]

Saludos.

06 Marzo, 2017, 08:00 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Perfecto, naturalmente. Mi solución es más geométrica:


Es el problema 47 del libro Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry.

Saludos,
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07 Marzo, 2017, 11:11 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Perfecto, naturalmente. Mi solución es más geométrica:

...y más bonita.. y más elegante...  ;)

Saludos.

07 Marzo, 2017, 12:28 pm
Respuesta #4

Ignacio Larrosa

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Es que en las Olimpiadas habitualmente no se contempla el cálculo. Y pensaba que en el Japón del siglo XIX tampoco. Por eso me choca que en el libro dan tu solución como la original, o "following the original method", y la mía resulta ser la moderna ... ¿?

Saludos,
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07 Marzo, 2017, 05:21 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Es que en las Olimpiadas habitualmente no se contempla el cálculo.

Bueno, las Olimpiadas son estilo libre. ¿No?.

Citar
Y pensaba que en el Japón del siglo XIX tampoco. Por eso me choca que en el libro dan tu solución como la original, o "following the original method", y la mía resulta ser la moderna ... ¿?

Ja, ja. Pues si; me cuesta también creer que mi solución sea la ancestra...

Saludos.