Autor Tema: Área Corona Circular- Circunferencia

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18 Diciembre, 2016, 10:28 pm
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Rashed

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Hola a todos estuve viendo el foro y lo encontré demasiado interesante pero muy complejo a la hora de buscar como en mi caso cierta información para realizar mi ejercicio.
 Tengo que rendir un final de geometria y se me solicito demostrar 2 ejercicios. Estaria necesitando si alguno me puede brindar un link de ayuda o algunos consejos para poder encarar los siguientes enuncias. Si ya se encuentran en el foro o están resueltos, disculpen por no encontrarlos.

1.   Demostrar que el área  de una corona circular  es igual al área de un círculo cuyo diámetro es una cuerda de la circunferencia exterior de la corona y tangente a la circunferencia menor de la corona.


2.   Demostrar que la recta que une un vértice A de un triángulo ABC, con el incentro I, corta a la circunferencia circunscripta en el punto P, que equidista de B,I y C.


Sería de mucha utilidad cualquier consejo que puedan brindarme. Muchas Gracias y saludos!

18 Diciembre, 2016, 10:50 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola , la primera demostración es muy fácil con el siguiente dibujo.



Tienes que el área de la corona es : \( A_{cc}=\pi(R^2-r^2) \)

Solo aplica el teorema de Pitágoras al triángulo del dibujo, con x la longitud de la cuerda.

El segundo lo miro mañana.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

19 Diciembre, 2016, 12:08 am
Respuesta #2

Rashed

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Hola, seguí tu consejo y lo demostré de esta manera. Estará bien? o le tendré que dar valores para demostrar mejor.





19 Diciembre, 2016, 05:35 am
Respuesta #3

delmar

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Hola

No es cierto el desarrollo que has hecho. Lo que te dan es la corona, eso significa que R y r, son conocidos, incógnita es X. robinlambada al señalar el triángulo, prácticamente ha resuelto el problema. Por pitágoras se tiene :

\( R^2=r^2+(\displaystyle\frac{X}{2})^2\Rightarrow{\pi}(R^2-r^2)=\pi \ (\displaystyle\frac{X}{2})^2 \)

El lado izquierdo de la ecuación es el área de la corona circular y el lado derecho es el área de un círculo, cuyo diámetro es la cuerda del círculo mayor, tangente al círculo menor. Date cuenta que X es el diámetro, evidentemente, es también la cuerda del círculo mayor, tangente al círculo menor. Aún cuando no es necesario, si deseas precisar su valor es : \( X=2\sqrt[ ]{R^2-r^2} \)

Respecto al problema 2, adjunto un esquema, observa que si se demuestra :
a)  \( \alpha=\beta \), el triángulo \( \Delta \ BPC \) será isóceles y esto implica : \( \overline{BP}=\overline{CP} \).

b) \( \alpha+1=\theta \) entonces el triángulo \( \Delta \ BPI \), será isóceles y esto implica : \( \overline{BP}=\overline{IP}\Rightarrow{\overline{CP}=\overline{BP}=\overline{IP}} \), Lqqd

Para esto hay que utilizar los teoremas relativos a los ángulos de una circunferencia.

Parte a)

Por ser ángulos inscritos \( \alpha=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}, \ \ \beta=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2} \)

\( \overline{AP} \) es bisectriz de \( A \), luego \( 5=6 \); pero ambos son ángulos inscritos, luego

\( 5=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}, \ \ 6=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2}, \ \ 5=6\Rightarrow{\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}}=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2} \ \ Ec. \ 1 \ \Rightarrow{\alpha}=\beta \)

Por lo tanto por lo dicho en el apartado a), se tiene : \( \overline{BP}=\overline{CP} \).

Parte b)

\( \alpha \) y \( 1 \) son ángulos inscritos, luego \( \alpha=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}, \ \ 1=\displaystyle\frac{arc(SC)}{2}\Rightarrow{\alpha}+1=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}+\displaystyle\frac{arc(SC)}{2} \) Ec. 2

\( \theta \) es un ángulo interior, luego \( \theta=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2}+\displaystyle\frac{arc(AS)}{2} \ \ Ec. \ 3 \)

\( \overline{BS} \) es bisectriz del ángulo \( B \) luego \( 1=2 \); pero por ser ambos inscritos se tiene :

 \( 1=\displaystyle\frac{arc(SC)}{2}, \ \ 2=\displaystyle\frac{arc(AS)}{2}, \ \ 1=2\Rightarrow{\displaystyle\frac{arc(SC)}{2}}=\displaystyle\frac{arc(AS)}{2} \ Ec. \ 4 \)

Luego utilizando la Ec. 4 y la Ec. 1 dentro de la Ec. 3 se tiene :

\( \theta=\displaystyle\frac{arc(BP)}{2}+\displaystyle\frac{arc(AS)}{2}=\displaystyle\frac{arc(PC)}{2}+\displaystyle\frac{arc(SC)}{2} \)

Y finalmente utilizando la ecuación 2, se llega :

\( \alpha+1=\theta \)
, en consecuencia por lo dicho en el apartado b) :

\( \overline{IP}=\overline{BP}=\overline{CP} \)

Lqqd

Saludos

19 Diciembre, 2016, 04:56 pm
Respuesta #4

Michel

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Colaboro en el problema 2.

Los ángulos A y B del triángulo ABC son inscritos en la circunferencia, por tanto los puntos P y D son los puntos medios de los arcos BC y AC que abarcan sus lados, respectivamente.

Si arco BP=arco PC, se verifica BP=PC    (1)

Por otra parte, áng IBP=(arc DC+arc CP)/2 por ángulo inscrito (mitad del arco que abarca).

áng BIP=(arc BP+arc DC)/2 poe ángulo interior (semisuma de los arcos que abarca).

Como arc BP=arc CP, será áng IBP=áng BIP, por lo que el triángulo PIB es iósceles, con PI=PB.

Seún la última igualdady la (1), los tres segmentos son iguales.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker