Autor Tema: Proyectividad involutiva

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28 Noviembre, 2016, 11:24 pm
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Gray

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Hola gente! estoy atascado en este problema y necesito ayuda... Muchas gracias!

Sean \( P \) y \( Q \) dos puntos distintos de \( P^1_k \) y sea \( f:P^1_k\rightarrow P^1_k \) una proyectividad.
Demostrar que si \( f(P)=Q \) y \( f(Q)=P \), entonces \( f \) es una proyectividad involutiva (es decir, \( f^2 = id \)).

29 Noviembre, 2016, 11:54 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Gray: aquí te indiqué que siguieses las normas del foro escribiendo las fórmulas en LaTeX. Te invité a ayudarte a corregir tu mensaje, si aclarabas su contenido. Pero no obtuve respuesta.

Spoiler
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no repitas la misma pregunta en distintos hilos.

Hola a todos, estaba haciendo un ejercicio y me he atascado en el último apartado, que me salen unas cuentas excesivamente largas, si alguien me pudiera ayudar...

Clasificar y determinar los elementos geométricos de la composición de ambas isometrias tanto en un orden como en el contrario.

x'         1/2          -(3^1/2)/2    x              -2
     =                                             +               isometría g
y'         3^1/2/2    1/2              y              1



x'         (2^1/2)/2      (2^1/2)/2     x          0
     =                                               +              isometría f
y'         (2^1/2)/2      -(2^1/2)/2    y          1

A mi me sale que f compuesto de g también es una isometría deslizante pero los elementos geométricos pues salen muy largos y no estoy seguro.


 Mi intención era, por ser la primera vez que entras, corregirte las fórmulas. Pero no soy capaz de entender las ecuaciones que has querido insciribir; por la mala escritura no sé si ciertos términos suman o multiplican a otros.

 Entonces te pongo un ejemplo de como se escribirían correctamente las fórmulas de una transformación afín.

Escribiendo:

[tex]x'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y-7[/tex]
[tex]y'=\dfrac{-1}{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}y+18[/tex]

obtienes:

\( x'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y-7 \)
\( y'=\dfrac{-1}{2}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}y+18 \)

Corrige ahora tu mensaje usando este formato para tus ecuaciones con los números que tu querías poner y podremos ayudarte.

Saludos.
[cerrar]


Sean \( P \) y \( Q \) dos puntos distintos de \( P^1_k \) y sea \( f:P^1_k\rightarrow P^1_k \) una proyectividad.
Demostrar que si \( f(P)=Q \) y \( f(Q)=P \), entonces \( f \) es una proyectividad involutiva (es decir, \( f^2 = id \)).

He corregido tu mensaje y voy a darte unas indicaciones. Pero en lo sucesivo, si quieres seguir utilizando el foro, por favor muestra en interés en seguir las reglas del mismo.

Si consideras una referencia \( \{P,Q;R\} \) (siendo \( R \) el punto unido), las coordenadas homogéneas de \( P \) y \( Q \) en la referencia son respectivamente  \( [1:0] \) y \( [0:1] \). Las coordenadas de su imagen dado que \( f(P)=Q \) y \( f(Q)=P \) son respectivamente \( [0:a] \) y \( [b:0] \), con \( a,b\neq 0 \). Por tanto la matriz asociada a la proyectividad en la referencia indicada es de la forma:

\( A=\begin{bmatrix}{0}&{b}\\{a}&{0}\end{bmatrix} \)

Ahora es fácil concluir lo que te piden.

Saludos.

29 Noviembre, 2016, 10:17 pm
Respuesta #2

Gray

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En cuanto a tu contestación de la progunta del proyectivo, tengo un par de preguntas:
1. ¿A qué te refieres con punto unido?

2. La matriz: \begin{bmatrix}{0}&{b}\\{a}&{0}\end{bmatrix}
al cuadrado da \begin{bmatrix}{ba}&{0}\\{0}&{ab}\end{bmatrix}

que es ab*id, no es id. Y pues no sé como afirmar que ab=1.

Un saludo!

29 Noviembre, 2016, 10:28 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Vaya por delante que tendría que saber que cosas te han explicado de geometría proyectiva, para contestarse de la manera más adecuada posible.

En cuanto a tu contestación de la progunta del proyectivo, tengo un par de preguntas:
1. ¿A qué te refieres con punto unido?

En un espacio proyectivo \( n \) dimensional para dar una referencia hacen falta fijar \( n+2 \) puntos. Uno de ellos se llama el punto unido o el punto unidad.

Está explicado en la página \( 16 \) y sucesivas de estas notas:

https://amontes.webs.ull.es/apuntes/gdh.pdf

Citar
2. La matriz: \begin{bmatrix}{0}&{b}\\{a}&{0}\end{bmatrix}
al cuadrado da \begin{bmatrix}{ba}&{0}\\{0}&{ab}\end{bmatrix}

que es ab*id, no es id. Y pues no sé como afirmar que ab=1.

Recuerda que las coordenadas homogéneas de un punto no son únicas: coordenadas proporcionales definen el mismo punto. Por el mismo motivo matrices proporcionales definen la misma proyectividad.

En otras palabras la proyectividad con la matriz obtenida llevaría un punto de coordenadas \( [x:y] \) en uno de coordenadas \( [abx:aby] \), pero como coordenadas proporcionales definen el mismo punto \( [abx:aby]=[x:y]. \)

Saludos.