Autor Tema: Ejercicio de retracto de deformación

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28 Agosto, 2016, 07:54 pm
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math-dummie

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Buenas, se me plantea el siguiente ejercicio:
Demostrad que la circunferencia \( S^1 \) es retracto de deformación de \( \mathbb{R^3}-{(0,0,z)} \).
Para ello tengo que encontrar una aplicación H,
\( H:\mathbb{R^3}-{(0,0,z)}\times{I}\longrightarrow{\mathbb{R^3}-{(0,0,z)}}  \) ; H(x,0)=x y H(x,1)= \( S^1 \).

Tomo la siguiente aplicación: \( H(x_1,x_2,x_3,t)=(x_1,x_2,x_3)t +\displaystyle\frac{(1-t)(x_1,x_2,x_3)}{ \left\|{(x_1,x_2,x_3)}\right\|} \)

¿sería válida esta aplicación ?
Gracias
Un saludo

28 Agosto, 2016, 08:17 pm
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola math-dummie.

 Con la aplicación que defines \( H(\cdot,0):\mathbb{R}\setminus\{\text{eje }Z\}\to\mathbb{R}\setminus\{\text{eje }Z\} \) tiene como imágen a \( S^{2}\setminus\{(0,0,1),(0,0,-1)\} \), mientras que \( H(\cdot,1) \) es la identidad. Pero nosotros queremos que la imagen en tiempo uno sea \( S^{1}=\{(z,y,0)\in\mathbb{R}^{3}:\,x^{2}+y^{2}=1\} \) y que en tiempo cero sea la identidad.

 Lo que podemos hacer por ejemplo es primero retraer todo el espacio al plano definido por los ejes \( X \) e \( Y \), esto lo podríamos hacer en la mitad del tiempo. Luego, ya en plano podemos definir una aplicación similar a la que usas. Más concretamente, piensa en \( H\big((x,y,z),t\big)=\big(x,y,(1-2t)z\big) \) cuando \( t\in[0,1/2] \) y en la aplicación \( H\big((x,y,0),t\big)=\big(\frac{3}{2}-2t\big)(x,y,0)+\frac{2t-1}{\|(x,y,0)\|}(x,y,0) \), cuando \( t\in[1/2,1] \). Culaquier duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

28 Agosto, 2016, 08:37 pm
Respuesta #2

math-dummie

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Hola Enrique, gracias por responder tan rápido.
Perdóname, pero creo que estoy un poco espesa, ... la aplicación que defines ¿sería la retracción?, es que no me acaba de cuadrar...  ::)
un saludo.

28 Agosto, 2016, 09:07 pm
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Sí, esa aplicación sería una retracción que cumple lo pedido; la definimos con dos reglas de correspondencia, una para \( t\in[0,1/2] \) y otra para \( t\in[1/2,1] \). Puedes verificar que \( H((x,y,z),0)=(x,y,z) \), es decir \( H(\cdot,t) \) es la identidad, y que \( H(\cdot,1) \) tiene como imagen a \( S^{1} \). Además tienes que verificar que la aplicación está bien definida, y que es contínua.

Saludos,

Enrique.

17 Enero, 2021, 02:35 pm
Respuesta #4

mportilly

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Hola.
No entiendo muy bien por qué la segunda correspondencia se define así. ¿Por qué se pone "(3/2−2t)(x,y,0)"+... ?
Muchas gracias 

17 Enero, 2021, 03:00 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Creo que es un despiste por parte de Enrique.
En ese término hay que poner algo del tipo \[ (at+b)(x,y,0) \] de manera que cuando \[ t=1/2 \] tengas \[ a/2 +b=1 \] y cuando \[ t=1 \] tengas \[ a+b=0 \]. Resolviendo queda que ese factor debe ser \[ 2-2t \].

Así pues, la segunda mitad de la homotopía debería ser:
\[ H\big((x,y,0),t\big)=\big(2-2t\big)(x,y,0)+\frac{2t-1}{\|(x,y,0)\|}(x,y,0) \], cuando \( t\in[1/2,1] \)
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)