Autor Tema: Mayor segmento

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16 Agosto, 2016, 08:31 am
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Michel

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Dos circunferencias c y c' se cortan en A y B.
Trazar por A el mayor segmento posible comprendido entre las dos circunferencias.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

16 Agosto, 2016, 03:44 pm
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola.

 En seguida propongo un camino (Nota: Lo del spoiler que sigue corresponde a una interpretación equivocada del problema como se discute en los dos mensajes siguientes.)

No desplegar hasta después de haber intentado el problema
Supongo que el segmento pedido debe de encontrarse en la región sombreada \( \mathfrak{S} \) de la siguiente figura (que incluye los bordes), donde \( {\cal C}_{1} \) y \( {\cal C}_{2} \) son dos circunferencias que se cortan en \( A \) y \( B \). Llamaremos arco \( AB \) (de \( {\cal C}_{1} \) o de \( {\cal C}_{2} \) según sea el caso) a los arcos que forman el borde de \( \mathfrak{S} \) y supondremos además que el diámetro de \( {\cal C}_{1} \) es menor o igual al diámetro de \( C_{2} \).


 Primero observemos que es suficiente restringirnos al estudio de segmentos cuyos estremos estén en el borde de \( \mathfrak{S} \) pues cualquier otro segmento puede extenderse hasta cortar el borde de \( \mathfrak{S} \) consiguiéndose así un segmento mayor. Además por la simetría que encontramos en una circunferencia, siempre podemos conseguir un segmento como el que deseamos con un extremo en el punto \( A \). Entonces tenemos dos casos.

 (i) El arco \( AB \) de \( {\cal C}_{1} \) mide más de  \( 180^{\circ} \). Entonces es posible unir \( A \) con su antípoda (en \( {\cal C}_{1} \)) por medio de un segmento contenido en \( \mathfrak{S} \), claramente este segmento tiene longitud máxima. Además no es el único con esta propiedad pues cualquier otro diámetro de \( {\cal C}_{1} \) contenido en \( \mathfrak{S} \) verifica lo que necesitamos.

 (ii) La medida del arco \( AB \) en \( {\cal C}_{1} \) es menor o igual a \( 180^{\circ} \). En este caso, cualquier otro punto \( C \) en el borde de \( \mathfrak{S} \) y distinto de \( A \) y \( B \) es tal que \( m\angle CAB<180^{\circ} \). Esto implica que \( AB>AC \). Por tanto, en este caso, \( \overline{AB} \) es el segmento buscado (además no es difícil ver que es único).
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Saludos,

Enrique.

17 Agosto, 2016, 09:01 am
Respuesta #2

Michel

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Hola Enrique.

Yo creo que el segmento al que se refiere el problema es el CD de la figura adjunta.

Pienso que es trivial (a lo mejor no es tan trivial) el caso de considerar que el segmento debe estar en la zona común a los dos círculos.

¿Qué opinas?

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

17 Agosto, 2016, 02:55 pm
Respuesta #3

EnRlquE

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Hola michel.

 He interpretado mal el ejercicio, yo pensé que la región entre las circunferencias a la que se refiere el problema era la intersección de los discos definidos por ambas circunferencias, la región \( \mathfrak{S} \) que llamo en mi anterior mensaje. Además tampoco vi que se pidiese que el segmente tenía que pasar por \( A \) necesariamente. Creo que como lo pones está más interesante, trataré de darme un tiempo para pensarlo con calma y si nadie se me adelanta publicaré alguna solución (si me sale).

Saludos,

Enrique.

21 Agosto, 2016, 07:45 pm
Respuesta #4

EnRlquE

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Hola.

 Aquí voy con mi solución. Supongamos que las circunferencias en cuestión sean \( {\cal C}_{1} \) y \( {\cal C}_{2} \), con sus respectivos radios \( R_{1} \) y \( R_{2} \). Vamos a suponer que \( R_{2}\geq R_{1} \) y que \( \overline{MN} \) es un segmento arbitrario pasando por \( A \) donde \( M\in{\cal C}_{1}\setminus{A} \) y \( N\in{\cal C}_{2}\setminus\{A\} \), como se muestra en la siguiente figura


 Consideremos ahora las proyecciones \( P_{1},\,P_{2} \) de \( O_{1} \) y \( O_{2} \), respectivamente, sobre \( \overline{MN} \). Como \( P_{1} \) y \( P_{2} \) son los puntos medios de las cuerdas a las que pertenecen, tenemos que \( MN=2(P_{1}P_{2}) \). Por otro lado en el trapecio \( O_{1}P_{2}P_{2}O_{2} \) tenemos que \( P_{1}P_{2}\leq O_{1}O_{1} \), luego \( MN\leq 2(O_{1}O_{2}) \).

 Entonces, en la clase de segmentos que hemos tomado (donde \( M\neq A\neq N \)), el máximo valor posible de \( MN \) es \( 2(O_{1}O_{2}) \) y se alcanza cuando \( \overline{MN} \) es paralelo a \( \overline{O_{1}O_{2}} \).

Notas importantes:

 \( \bullet \) El máximo que hemos obtenido arriba se alcanza (en la clase de segmentos verificando \( M\neq A\neq N \)) sólo cuando el ángulo \( AO_{1}O_{2} \) es agudo. Caso contrario el máximo no se alcanza, ya que a medida que \( M \) se aproxima a \( A \) la medida de \( \overline{MN} \) aumenta.

 \( \bullet \) Si además de la familia de segmentos que estamos considerando (cuando \( M\neq A\neq N \)), admitimos a los segmentos \( \overline{MN} \) pasando por \( A \) en los que es posible que \( A=M \) o que \( A=N \), es decir admitimos que \( \overline{MN} \) pueda estar contenido en uno de los dos círculos determinados por las circunferencias, entonces el segmento de longitud máxima siempre es alcanzado y para identificarlo distinguimos los siguientes casos:

  \( \color{blue}\star \) Si \( O_{1}O_{2}>R_{2} \). Entonces el segmento \( MN \) de longitud máxima es el que es trazado paralelamente a \( \overline{O_{1}O_{2}} \) y pasando por \( A \). En este caso el ángulo \( AO_{1}O_{2} \) siempre es agudo y el máximo se alcanza e la familia de segmentos que consideramos al inicio (cuando \( M\neq A\neq N \)).

  \( \color{blue}\star \) Si \( O_{1}O_{2}> R_{2} \). En este caso aún siendo el ángulo \( AO_{1}O_{2} \) agudo (caso en el que la paralela que trazamos antes daría lugar a un máximo en la familia de segmentos \( \overline{MN} \) que consideramos al inicio), el máximo en la familia de segmentos extendida (cuando \( A \) puede ser uno de los estremos de \( \overline{MN} \)) no es el segmento paralelo a \( \overline{O_{1}O_{2}} \). El máximo se alcanza trazando el diámetro de \( {\cal C}_{2} \) pasando por \( A \).

  \( \color{blue}\star \) Si \( O_{1}O_{2}=R_{2} \). En este caso, cualquiera de los segmentos maximizantes de los casos anteriores solucionan el problema en la familia de segmentos \( MN \) extendida.

 \( \bullet \) Todo lo que sucede arriba es gracias a que la distancia de los segmentos en la familia extendida tiene a lo sumo tres máximos locales, dos son los diámetros de las circunferencias con un extremo en \( A \) y el tercero surge cuando la paralela a \( \overline{O_{1}O_{2}} \) pasando por \( A \) da origen a un segmento en la familia de segmentos donde \( M\neq A\neq N \). Quién de estos máximos locales es un máximo absoluto es lo que analizamos en este mensaje.

Saludos,

Enrique.

22 Agosto, 2016, 04:29 pm
Respuesta #5

Michel

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He aquí mi solución.

Sean GH y CD dos secantes que pasan por A, la primera paralela a la recta de los centros OO' y la segunda una cualquiera.

Sean E y F los puntos medios de CA y AD; L y M los puntos medios de GA y AH.

Se verifica: GH=2.LM y CD=2.EF    (1)

Trazamos O'N, paralela por O' a CD; en el triángulo rectángulo ONO': OO'>O'N (la hipotenusa es mayor que un cateto).

Como LM=OO' y EF=O'N, será  LM>EF, por lo que, según (1)  GH>CD.

Por tanto, el mayor segmento posible trazado por A es el paralelo a la recta de los centros.

Creo que la solución es independiente de las longitudes de los radios y de la distancia de los centros.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

22 Agosto, 2016, 07:04 pm
Respuesta #6

EnRlquE

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Hola michel.

 Nuestras soluciones son esencialmente la misma en los casos "típicos". Pero sobre esto

[...]
Creo que la solución es independiente de las longitudes de los radios y de la distancia de los centros.
[...]

Lo que sucede es que en tu solución estás considerando otra variante (de interpretación del problema) que no mencioné en mi anterior respuesta porque, aunque facilita mucho la vida, me parece que se aleja un poco del enunciado. Tal vez no, es subjetivo.

 En tu solución los segmentos \( CD \) que consideras tienen sus extremos en ambas circunferencias, pero no siempre \( A\in\overline{CD} \). Por ejemplo cuando \( O \) y \( O' \) están suficientemente cerca lo que ocurre es que \( A \) pertenece a la recta generada por \( C \) y \( D \), pero \( A\not\in\overline{CD} \), como en este caso


 En ese caso para cumplir la condición \( A\in\overline{CD} \) me parece más conveniente (es la interpretación que uso en mi anterior respuesta) elegir el segmento \( AC \) en lugar de \( \overline{CD} \), para que el segmento a considerar siempre toque a \( A \). A mi modo de ver \( \overline{AC} \) también es un segmento comprendido entre las circunferencias y además pasa por \( A \). Pero entonces vemos que \( AC>GH \) y nuestro segmento \( GH \) ya no sería maximizante.

 Este es el motivo de haber escrito las observaciones finales de mi anterior mensaje. Entiendo que de acuerdo a tu solución los segmentos comprendidos entre dos circunferencias que consideras son del tipo \( \overline{CD} \) de la figura de arriba (también, por supuesto, los del tipo \( \overline{GH} \)); pero no pueden ser del tipo \( \overline{AC} \). Además entiendo que aceptas que para que un segmento sea trazado por un punto \( A \) únicamente hace falta que \( A \) pertenezca a la recta generada por el segmento, pudiendo \( A \) no pertenecer al segmento. Estas convenciones son razonables y de hecho son usadas cuando se maneja cantidades y segmentos de forma vectorial, facilitan mucho la vida y evitan estudiar las particularidades que puedan surgir con otro tipo de interpretaciones.

Saludos,

Enrique.