Autor Tema: Rectángulo de área máxima

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05 Julio, 2016, 05:27 pm
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Michel

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En un triángulo rectángulo e isósceles inscribir el rectángulo de área máxima,
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

05 Julio, 2016, 08:18 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola michel

Adjunto una figura, el área del rectángulo será : \( A(x)=x(a-x)=ax-x^2, \ \ 0\leq{x}\leq{a} \)

Derivando para hallar puntos críticos : \( A'(x)=a-2x=0\Rightarrow{x=\displaystyle\frac{a}{2}} \)

Derivando por segunda vez :\( A''(x)=-2, \ \ 0\leq{x}\leq{a}\Rightarrow{A''(a/2)=-2<0} \)

Luego hay máximo, por lo tanto :

\( A_{max}=\displaystyle\frac{a^2}{4} \)

06 Julio, 2016, 06:23 am
Respuesta #2

mathtruco

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Hola delmar. No sé si en geometría sintética (el lugar donde está puesta la pregunta) está permitido usar esos argumentos.

A mí también, por deformación profesional, el primero argumento que se me viene a la mente es maximizar una función usando los criterios de derivadas.

Espero atento para ver qué argumentos usan para solucionar este problema.

06 Julio, 2016, 09:47 am
Respuesta #3

Michel

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Hola delmar y mathtruco.

Yo tampoco sé si en geometría sintética está permitido o no hacer uso de derivadas; compañeros hay en el foro, que podrían darnos su opinión.

A mí no me gusta hacerlo así, como puede comprobarse viendo los problemas que figuran en esta sección.

En cuanto a este problema, yo lo he hecho demostrando:

1. Todos los rectángulos inscritos en un triángulo rectángulo isósceles tienen el mismo perímetro.

2. De todos los rectángulos del mismo perímetro, el de área máxima es el cuadrado.

Os invito a que lo intentéis.

Por supuesto, sin usar derivadas, contra las que, obviamente, no tengo nada.

Saludos

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

06 Julio, 2016, 10:27 am
Respuesta #4

Gaussito

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Se me ocurrió una solución bastante sencilla, pero tengo mis dudas. Basándome en la misma figura que compartió Delmar, suponemos que:

\( \displaystyle\frac{a^2}{4}<ax-x^2 \)
\( \displaystyle\frac{a^2}{4}-ax+x^2<0 \)
\( (\displaystyle\frac{a}{2}-x)^2<0 \)

Contradicción, la cual proviene de suponer que \( \displaystyle\frac{a^2}{4}<ax-x^2 \), por tanto \( \displaystyle\frac{a^2}{4} \) es la mayor área posible.

Saludos.

06 Julio, 2016, 09:21 pm
Respuesta #5

mathtruco

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Gaussito: me convence tu forma.

Me queda una duda: ¿cómo verificar la siguiente afirmación?


2. De todos los rectángulos del mismo perímetro, el de área máxima es el cuadrado.




Por supuesto, sin usar derivadas, contra las que, obviamente, no tengo nada.


Nos hemos (me he) malacostumbrado a usar tanques para matar moscas, cuando para abordar muchos problemas basta volver a lo más básico: la intuición.

06 Julio, 2016, 10:40 pm
Respuesta #6

Michel

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Hola a todos.

Basta demostrar que, si la suma de dos segmentos es constante, el producto es máximo cuando los segmentos son iguales.

Ver problema Producto máximo del 22-4-11
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L. Kronecker

06 Julio, 2016, 10:43 pm
Respuesta #7

Gaussito

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Gaussito: me convence tu forma.

Me queda una duda: ¿cómo verificar la siguiente afirmación?


2. De todos los rectángulos del mismo perímetro, el de área máxima es el cuadrado.




Por supuesto, sin usar derivadas, contra las que, obviamente, no tengo nada.


Nos hemos (me he) malacostumbrado a usar tanques para matar moscas, cuando para abordar muchos problemas basta volver a lo más básico: la intuición.

Yo lo haría usando la misma idea de mi explicación anterior, tomemos un retángulo de lados a y b, y un cuadrado de lado c, tal que:

\( 2a+2b=p \) y \( 4c=p \) (Esto se debe a que los rectángulos deben tener igual perímetro que el cuadrado).

Luego, supongamos que:

\( c^2<a.b \), de aquí que:

\( \displaystyle\frac{p^2}{16}<a.(\displaystyle\frac{p}{2}-a) \)

\( \displaystyle\frac{p^2}{16}-\displaystyle\frac{a.p}{2}+a^2<0 \)

\( (\displaystyle\frac{p}{4}-a)^2<0 \)

Contradición, la cual proviene de suponer que \( c^2<a.b \), por tanto el cuadrado descrito tiene mayor área que los rectángulos.

Saludos.

06 Julio, 2016, 11:15 pm
Respuesta #8

mathtruco

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Hola a todos.

Basta demostrar que, si la suma de dos segmentos es constante, el producto es máximo cuando los segmentos son iguales.

Ver problema Producto máximo del 22-4-11

Perfecto !

Gaussito: tu solución me convence también.

Lo que me parece interesante de la solución de michel es que se puede entender con 2 frases, un dibujo e imaginación. En cambio las demostraciones por contradicción son más difíciles de digerir, o por lo menos más delicadas de tratar (estoy pensando en alguien de secundaria o que no maneje con soltura la aritmética).

Recuerdo que en secundaria usaba bastante estas técnicas (imaginación+dibujo), no sé si porque me lo enseñaron o simplemente porque es la manera natural de enfrentar problemas desconocidos, pero hoy siempre me veo tratando de hacer todo algebraico y me cuesta volver a enfrentar los problemas de esta forma. A eso llamo deformación profesional.

07 Julio, 2016, 12:52 am
Respuesta #9

delmar

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Hola delmar. No sé si en geometría sintética (el lugar donde está puesta la pregunta) está permitido usar esos argumentos.

A mí también, por deformación profesional, el primero argumento que se me viene a la mente es maximizar una función usando los criterios de derivadas.

Espero atento para ver qué argumentos usan para solucionar este problema.

Hola mathtruco, tienes toda la razón, hay problemas que se pueden resolver con conocimientos sencillos y prácticos, como es la geometría euclidiana. michel, genial la demostración, eso lo entiende hasta un escolar, muchas gracias por compartirla. Gaussito interesante la idea, gracias.