Autor Tema: El máximo y el mínimo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Junio, 2016, 09:34 am
Leído 1069 veces

Michel

  • Lathi
  • Mensajes: 6,087
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Calcular los valores dex para los cuales el área de la figura ABEF alcanza el valor máximo y el valor mínimo, siendo ABCD un cuadrado de lado a.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

24 Junio, 2016, 08:36 pm
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,337
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

El área de la superficie sombreada \( A(x) \) es igual al área del cuadrado, menos el área del triángulo pequeño, menos el área del triángulo grande, es decir :

\( A(x)=a^2-\displaystyle\frac{x^2}{2}-\displaystyle\frac{a(a-x)}{2} \)

Desarrollando se tiene :

\( A(x)=\displaystyle\frac{a^2}{2}+\displaystyle\frac{ax}{2}-\displaystyle\frac{x^2}{2}, \ \ 0<x\leq{a} \)

Derivando para hallar puntos críticos :

\( A'(x)=\displaystyle\frac{a}{2}-x\Rightarrow{A'(x_0)=0}\Leftrightarrow{x_0=\displaystyle\frac{a}{2}} \)

Averiguando si es mínimo o máximo se tiene :

\( A'(x)<0\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{a}{2}-x<0\Leftrightarrow{x>\displaystyle\frac{a}{2}}} \)

\( A'(x)>0\Leftrightarrow{\displaystyle\frac{a}{2}-x>0}\Leftrightarrow{x<\displaystyle\frac{a}{2}} \)

Luego en \( x=\displaystyle\frac{a}{2} \) hay un máximo relativo, la función sigue decreciendo y consecuentemente tiene un mínimo en \( x=a \)

01 Julio, 2016, 05:08 pm
Respuesta #2

Michel

  • Lathi
  • Mensajes: 6,087
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Otra forma:

El área (ABEF) se obtiene restando de (ABCD) la suma S de las áreas (EDF) y (BCE).

Esta suma vale: \( S=\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{a(a-x)}{2}=\displaystyle\frac{a^2-x(a-x)}{2} \)

1) El área (ABEF) es un máximo cuando S es un mínimo, esto es, cuando x(a-x) sea máximo, pues a es constante.

El producto x(a-x) contiene dos factores cuya suma es máxima (a); será máximo cuando los dos factores sean iguales; esto es, cuando x=a/2.

Entonces \( S=\displaystyle\frac{a^2-a^2/4}{2}=\displaystyle\frac{3a^2}{8} \)

Y \( (ABEF)=a^2-\displaystyle\frac{3a^2}{8}=\displaystyle\frac{5a^2}{8} \)

2) El área (ABEF) será un mínimo cuando S sea un máximo, esto es, cuando x=0 ó x=a.

Entonces \( S=\displaystyle\frac{a^2}{2} \) y \( (ABEF)=\displaystyle\frac{a^2}{2} \)
 
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker