Autor Tema: Situar el punto P

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05 Abril, 2016, 10:15 am
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Michel

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Sea dada la semicircunferencia de diámetro AB.
Se toma un punto variable C en AB y se construyen hacia el interior las semicircunferencias de diámetros AC y CB.
Situar el punto C para que el área comprendida entre las tres semicircunferencias sea máxima.



Sugerencia para empezar: el área pedida será máxima cuando sea mínima...

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

19 Abril, 2016, 10:15 am
Respuesta #1

Michel

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El área pedida será máxima cuando sea mínima la suma de las áreas de los semicírculos interiores.

\( \pi \dfrac{AC^2}{4}+\pi \dfrac{CB^2}{4}=\dfrac{\pi}{4}(AC^2+CB^2) \)

es decir, cuando sea mínima  \( AC^2+CB^2 \)

Pero \( AC^2+CB^2=(AB+CB)^2-2AC.CB \)

Por el teorema de la altura en el triángulo rectángulo ADB.  \( AC.CB=CD^2 \)

En definitiva: \( AB^2+CB^2 \)  será mínima cuando sea máxima  \( CD^2 \)

Y esto ocurrirá cuando el triángulo sea isósceles, esto es, cuando los dos semicírculos interiores sean iguales.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker