Autor Tema: Adherencia de los números racionales en la recta de Sorgenfrey

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15 Noviembre, 2015, 01:06 am
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ner3a

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Hola, como no lo encuentro por ninguna parte, a ver si alguien puede contestarme.
En la recta real con la topología de Sorgenfrey me piden calcular la adherencia del conjunto de los números racionales. ¿Puede ser que sea un conjunto cerrado y abierto a la vez y que la adherencia por tanto, coincida con sí mismo?
Un saludo y gracias  ;)

15 Noviembre, 2015, 11:28 am
Respuesta #1

Willix

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Si, los conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados existen y no hay problema; pero no es el caso de \( \mathbb{Q} \).

Los abiertos en la topología de Sorgenfrey son los formados con la base \( \beta_{S} = \big\{[a, b[ \ \colon a, b \in \mathbb{R} \ \land \ a < b\big\} \). Es sabido que todos los intervalos contienen infinitos puntos racionales e irracionales; así que \( \mathbb{Q} \) no puede ser ni abierto ni cerrado.

La adherencia de \( \mathbb{Q} \) en la recta de Sorgenfrey no es el propio conjunto por no ser cerrado.
Porque sumando poco y cada vez menos se llega al infinito... Quid pro quo.
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16 Noviembre, 2015, 10:24 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 Continuando con lo que dice Willix, fíjate que cualquier abierto de la topología de Sorgenfrey corta a los racionales. Por tanto la clausura de los racionales es... termina...

Saludos.

16 Noviembre, 2015, 02:09 pm
Respuesta #3

FrenetSerret

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Hola, soy la que inició el mensaje que tuve que crear otro usuario.
Entonces la clausura son los reales ..no? jeje vale entonces en la topología usual también serían los reales pero por ejemplo en los espacios topológicos dónde existe algún conjunto unitario formado por un irracional, entonces la adherencia serían los reales menos ese punto? por ejemplo considerando la topología discreta, la adherencia serían sólo los racionales no?
Gracias por vuestras respuestas  :laugh:

16 Noviembre, 2015, 03:29 pm
Respuesta #4

Willix

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Efectivamente, cuando dotas a la recta real de la topología de Sorgenfrey se tiene que \( \overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R} \)

En cuanto a lo que preguntas sobre el conjunto unitario... Piensa que dado un conjunto \( A \) arbitrario en una topología cualquiera siempre se tiene que \( A^{\circ} \subseteq A \subseteq \overline{A} \); por tanto, incluso en el conjunto \( \big\{x_{0}\big\} \) su clausura contiene al propio punto. Entonces no puede ser lo que planteabas.

En el espacio \( \big(\mathbb{R}, \tau_{u}\big) \) tienes que \( \overline{\big\{x_{0}\big\}} = \big\{x_{0}\big\}, \ \forall x_{0} \in \mathbb{R} \). Es decir, cualquier conjunto unitario es cerrado.

En el espacio \( \big(\mathbb{R}, \tau_{S}\big) \) ocurre igual: todo conjunto unitario es cerrado.

Párate a comprobarlo en ambos casos y píllale base a los conceptos que trabajas, porque son la base de toda la topología básica.
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16 Noviembre, 2015, 10:51 pm
Respuesta #5

FrenetSerret

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Mmm la verdad es que no me expliqué muy bien pero no entiendo mucho a dónde quieres llegar. Por ejemplo, si dotamos a los reales con la topología discreta, habría ciertos abiertos que sólo contienen irracionales porque los conjuntos unitarios  son abiertos, por lo que no es cierto que toda vecindad de ese irracional corta a los racionales no? entonces la adherencia de los racionales con esta topología serían los propios racionales porque no toda vecindad de ese punto irracional corta a Q,.... no?
Si que estoy algo perdida con la topología, no se me da muy allá xd

17 Noviembre, 2015, 10:26 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Mmm la verdad es que no me expliqué muy bien pero no entiendo mucho a dónde quieres llegar. Por ejemplo, si dotamos a los reales con la topología discreta, habría ciertos abiertos que sólo contienen irracionales porque los conjuntos unitarios  son abiertos, por lo que no es cierto que toda vecindad de ese irracional corta a los racionales no? entonces la adherencia de los racionales con esta topología serían los propios racionales porque no toda vecindad de ese punto irracional corta a Q,.... no?

Si, cierto, con la topología discreta la clausura de cualquier conjunto es el propio conjunto; en particular la clausura de los racionales serían los racionales.

Willix pensaba (tu mensaje fue confuso) que preguntabas si la clausura de un conjunto formado por un sólo número racional podía ser los racionales menos ese punto.

Saludos.

17 Noviembre, 2015, 10:45 am
Respuesta #7

FrenetSerret

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Sí que era imposible de interpretar como yo quería jeje bueno muchas gracias por vuestras respuestas me han sido de muchísima utilidad!!  :laugh: :laugh:

17 Noviembre, 2015, 12:20 pm
Respuesta #8

Willix

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Si, ciertamente no llegué a interpretarlo como eso. Disculpa, FrenetSerret.

PD: La topología discreta y la trivial tienen la gracia de quitarle la gracia a la topología, en el sentido de que todo se vuelve muy trivial.
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