Autor Tema: Ángulo orientado como clase de equivalencia en R/2piZ

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22 Septiembre, 2015, 11:55 am
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arkady-svidrigailov

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He visto en un par de sitios y en particular en la siguiente pág.

http://math.stackexchange.com/questions/583066/what-is-the-exact-and-precise-definition-of-an-angle

donde se considera un ángulo orientado como una clase de equivalencia del conjunto \( \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \). Lo que no me queda claro es cómo se relacionan con la orientación de un sistema coordenado.

En otra página

http://www.logamaths.fr/spip/IMG/docs/1s/AA1sCh06_Angles-et-Trigo.pdf

(por si lo quieren ver) definen un ángulo orientado como un par ordenado de vectores, y un elemento de \( \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \) vendría a ser la medida de tal ángulo, pero no habla de sistemas coordenados.

Si alguien puede explayarse sobre el tema de forma rigurosa se lo agradezco.

22 Septiembre, 2015, 03:27 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Si entiendes un ángulo orientado como un elemento de \( \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \), eso no tiene ninguna relación con la orientación de un plano. Es simplemente una forma de formalizar que, por ejemplo, \( \pi/4 \) y \( -7\pi/4 \) son "el mismo ángulo".

Si defines un ángulo orientado como un par ordenado de vectores no nulos de un plano, entonces necesitas considerar una orientación del plano para asignarle una medida (y, de hecho, para determinar qué estás codificando con esos dos vectores). En efecto, para medir el ángulo tienes que girar los vectores hasta que el primero apunte al 0 de una circunferencia graduada, y la medida es entonces el número al que apunta el segundo vector. Pero para graduar una circunferencia necesitas fijar previamente una orientación del plano, para saber si los ángulos avanzan en sentido horario o antihorario.

23 Septiembre, 2015, 08:48 am
Respuesta #2

arkady-svidrigailov

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Lo que me confunde un poco es la dependencia de los conceptos.

Para asignar medida a pares ordenados de vectores no nulos, según la forma que me proponés, hay que tener previamente definidas la orientación del plano y las rotaciones. He visto que utilizan los ángulos orientados (sea como sea que implícitamente los definan, o quizás sólo los usen intuitivamente) para definir una rotación como una transformación, luego para demostrar la forma de la matriz asociada.
También he visto que definen una rotación como la transformación asociada a la matriz que tiene tal forma.

Lo que me hace pensar, ¿es posible que dado que no hay una forma estándar de definir/formalizar los conceptos (imagino que sucede con estos en particular), se usan muchas veces sin describir formalmente, para ¨no perder tiempo¨, y se deja en el lector el convencimiento de que pueden formalizarse, de una u otra forma?

Suponiendo que lo dicho está bien, creo que la siguiente sería una forma válida de definir ángulos orientados

Dado el espacio vectorial euclídeo \( \mathbb{R}^2 \) y la base canónica \( (e_1, e_2) \), se define la función \( m : A = \{ (u, v) : u, v \in \mathbb{R}^2 \} \to \mathbb{R} \) (o podría ser \( \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \)) tal que, para todo vector \( u \) con \( u = a e_1 + b e_2 \), se cumple
. Si \( b \geq 0 \), entonces \( m(e_1, u) = angulo(e_1, u) \) (o \( [angulo(e_1, u)] \))
. Si \( b < 0 \), entonces \( m(e_1, u) = -angulo(e_1, u) \) (o \( [-angulo(e_1, u)] \))
Y después demostrarse todas las propiedades que se esperan los ¨ángulos orientados¨ cumplan.

23 Septiembre, 2015, 09:57 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Lo que me confunde un poco es la dependencia de los conceptos.

Es frecuente que puedas definir unos conceptos primero y a partir de ellos otros, o también invertir el orden y definir los otros a partir de los unos. Eso es una cuestión de gustos.

Para asignar medida a pares ordenados de vectores no nulos, según la forma que me proponés,

No era exactamente una propuesta, sino un desarrollo de lo que hacen en el segundo enlace que pusiste. Tú preguntabas qué relación tenía eso con la orientación de sistemas de referencia y traté de mostrarte dónde estaba implícita en el planteamiento que seguían en dicho enlace.

hay que tener previamente definidas la orientación del plano y las rotaciones.

Es una opción. Pero una orientación del plano la puedes definir como una clase de equivalencia de bases respecto de la relación según la cual dos bases son equivalentes si y sólo si el determinante de la matriz de cambio de base es positivo, y una rotación puede definirse como una aplicación lineal cuya matriz en una base ortonormal orientada sea de la forma

\( \begin{bmatrix}{\cos\alpha}&{\sen\alpha}\\{-\sen\alpha}&{\cos\alpha}\end{bmatrix} \).

No es algo que cueste mucho.

He visto que utilizan los ángulos orientados (sea como sea que implícitamente los definan, o quizás sólo los usen intuitivamente) para definir una rotación como una transformación, luego para demostrar la forma de la matriz asociada.
También he visto que definen una rotación como la transformación asociada a la matriz que tiene tal forma.

En efecto, hay muchas opciones igualmente válidas (aunque también puedes encontrarte, en cualquiera de ellas, formas rigurosas de hacerlo y formas chapuceras).

Lo que me hace pensar, ¿es posible que dado que no hay una forma estándar de definir/formalizar los conceptos (imagino que sucede con estos en particular), se usan muchas veces sin describir formalmente, para ¨no perder tiempo¨, y se deja en el lector el convencimiento de que pueden formalizarse, de una u otra forma?

Si por "es posible" quieres decir si te puedes encontrar eso al leer un libro, la respuesta es que al leer un libro te puedes encontrar cualquier cosa, desde lo más sensato hasta los mayores absurdos.

Suponiendo que lo dicho está bien, creo que la siguiente sería una forma válida de definir ángulos orientados

Dado el espacio vectorial euclídeo \( \mathbb{R}^2 \) y la base canónica

Esto es técnicamente aceptable, pero resulta un tanto restrictivo. Una buena definición no debería partir de una base canónica. Por ejemplo, el conjunto de vectores de \( \mathbb R^3 \) que cumplen \( x+y+z=0 \) forman un plano, en el cual tiene sentido hablar de ángulos orientados, pero ahí no tienes una base canónica. Y si cambias la ecuación por  \( x+y+z=1 \) ni siquiera tienes una estructura canónica de espacio vectorial. Una definición "sólida" de ángulo orientado, o de cualquier concepto geométrico, debería ser válida en espacios afines cualesquiera (en este caso, dotados además de una orientación), no necesariamente  \( \mathbb{R}^2 \) con su base canónica.

\( (e_1, e_2) \), se define la función \( m : A = \{ (u, v) : u, v \in \mathbb{R}^2 \} \to \mathbb{R} \) (o podría ser \( \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \)) tal que, para todo vector \( u \) con \( u = a e_1 + b e_2 \), se cumple
. Si \( b \geq 0 \), entonces \( m(e_1, u) = angulo(e_1, u) \) (o \( [angulo(e_1, u)] \))
. Si \( b < 0 \), entonces \( m(e_1, u) = -angulo(e_1, u) \) (o \( [-angulo(e_1, u)] \))
Y después demostrarse todas las propiedades que se esperan los ¨ángulos orientados¨ cumplan.

Pero ahí sólo has asignado una medida a los pares de la forma \( (e_1, u) \), no a pares arbitrarios \( (v, u) \).

23 Septiembre, 2015, 10:05 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Dado el espacio vectorial euclídeo \( \mathbb{R}^2 \) y la base canónica \( (e_1, e_2) \), se define la función \( m : A = \{ (u, v) : u, v \in \mathbb{R}^2 \} \to \mathbb{R} \) (o podría ser \( \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \)) tal que, para todo vector \( u \) con \( u = a e_1 + b e_2 \), se cumple
. Si \( b \geq 0 \), entonces \( m(e_1, u) = angulo(e_1, u) \) (o \( [angulo(e_1, u)] \))
. Si \( b < 0 \), entonces \( m(e_1, u) = -angulo(e_1, u) \) (o \( [-angulo(e_1, u)] \))
Y después demostrarse todas las propiedades que se esperan los ¨ángulos orientados¨ cumplan.

En general y si trabajas con coordenadas en la base canónica puedes definir para dos vectores no nulos \( u,v \):

\( m(u,v)=arcos\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} \) si \( det(u,v)\geq 0 \)

\( m(u,v)=-arcos\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} \) si \( det(u,v)< 0 \)

Saludos.

23 Septiembre, 2015, 11:39 am
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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En general y si trabajas con coordenadas en la base canónica puedes definir para dos vectores no nulos \( u,v \):

\( m(u,v)=arcos\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} \) si \( det(u,v)\geq 0 \)

\( m(u,v)=-arcos\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} \) si \( det(u,v)< 0 \)

Más en general, si no consideras coordenadas en ninguna base y consideras que \( u, v \) son dos vectores no nulos de un espacio vectorial euclídeo orientado de dimensión 2, tienes que

\( m(u,v)=arcos\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} \) si \( (u,v) \) forman una base orientada positivamente o son linealmente dependientes

\( m(u,v)=-arcos\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} \) si \( (u,v) \) forman una base negativamente orientada.

23 Septiembre, 2015, 05:21 pm
Respuesta #6

arkady-svidrigailov

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Citar
Pero ahí sólo has asignado una medida a los pares de la forma (e_1, u), no a pares arbitrarios (v, u).

Ahora que lo veo creo que debí agregar que se cumple también que, para \( u, v, w \) vectores
. \( m(u, v) = - m(v, u) \)
. \( m(u, v) + m(v, w) = m(u, w) \)

23 Septiembre, 2015, 11:04 pm
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Ahora que lo veo creo que debí agregar que se cumple también que, para \( u, v, w \) vectores
. \( m(u, v) = - m(v, u) \)
. \( m(u, v) + m(v, w) = m(u, w) \)

Si quieres usar eso como definición tendrías que demostrar que existe realmente una aplicación m que cumple esas propiedades. No puedes definir un concepto con una lista de propiedades que podría no cumplir ningún objeto.