Autor Tema: Demostración de Teorema

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21 Febrero, 2015, 07:24 pm
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alejosatinador

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Hola los saludo nuevamente a todos, pues hace poco vengo estudiando lo que es Geometria en el espacio, y revisando bibliografias me encontre con esta ecuacion:
\( D=\displaystyle\frac{\left |{Ax+By+C}\right |}{\sqrt[ ]{A^2+B^2}} \) esta ecuacion calcula la distancia de un punto a una recta en \( R^2 \), avanzando en la bibliografia me encuentro con esta otra ecuacion
\( D=\displaystyle\frac{\left<{(P-P_1)}\times{}\vec{a}\right>}{\left<{\vec{a}}\right>} \) esto en \( R^3 \)
ahora mi duda va
La ecuacion de \( R^3 \) que es en el espacio se la podria utiliza en el plano??
supongo que la ecuacion de \( R^3 \) es mas general que la de \( R^2 \), entonces como puedo demostrar que a partir de la ecuacion de \( R^3 \) llegar a la ecuacion \( R^2 \) ??
De antemano gracias por leer mi post



21 Febrero, 2015, 08:11 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola alejosatinador

Es como dices, la ecuación en R3 debe servir también en R2. Se me ocurre que puedes utilizar un punto en el plano xy (z=0) y una recta que esté en el mismo plano. por ejemplo P=(1,3,0) y la recta (1,4,0)+t(1,1,0).

Recuerda que, en R3, una recta cualquiera y un punto cualquiera que no pertenezca a dicha recta tambien pertenecen a un plano.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

21 Febrero, 2015, 08:51 pm
Respuesta #2

alejosatinador

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gracias por la respuesta, y pues si ya me di de cuenta que la formula \( R^3 \) es mas general que la de  \( R^2 \)(Caso especial de  \( R^3 \)), puesto que  dandome puntos arbitrarios llego al mismo resultado, pero lo que mas me hace pensar es como llegar a deducir la formula de  \( R^2 \) a partir de  \( R^3 \) gracias  :)

22 Febrero, 2015, 09:33 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

gracias por la respuesta, y pues si ya me di de cuenta que la formula \( R^3 \) es mas general que la de  \( R^2 \)(Caso especial de  \( R^3 \)), puesto que  dandome puntos arbitrarios llego al mismo resultado, pero lo que mas me hace pensar es como llegar a deducir la formula de  \( R^2 \) a partir de  \( R^3 \) gracias  :)

Supón que tienes la recta \( Ax+By+C=0 \) y el punto \( P=(x_0,y_0). \)

Pensados como objetos el espacio en el plano \( z=0 \), puedes ver que la recta tiene vector director \( \vec a=(-B,A,0) \). Además \( P=(x_0,y_0,0) \) y supongamos que \( P_1=(x_1,y_1,0) \) es un punto de la recta dada.

Entonces aplicamos la fórmula:

\( D=\displaystyle\frac{\left<{(P-P_1)}\times{}\vec{a}\right>}{\left<{\vec{a}}\right>} \)

Pero:

\( \|\vec a\|=\sqrt{(-B)^2+A^2+0^2}=\sqrt{A^2+B^2} \)

\( (P-P_1)\times \vec a=(x_0-x_1,y_0-y_1,0)\times (-B,A,0)=(0,0,Ax_0-Ax_1+By_0-By_1) \)  (*)

Como \( P_1 \) es un punto de la recta dada cumple su ecuación, es decir,

\( Ax_1+By_1+C=0 \) o equivalentemente \( -Ax_1-By_1=C \)

Sustituyendo en (*):

\( (P-P_1)\times \vec a=(0,0,Ax_0+By_0+C) \)

Finalmente obtenemos:

\( D=\displaystyle\frac{\left<{(P-P_1)}\times{}\vec{a}\right>}{\left<{\vec{a}}\right>}=\dfrac{\|(0,0,Ax_0+By_0+c)\|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|Ax_0+By_0+c|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)

Saludos.