Autor Tema: Espacio de Banach

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23 Enero, 2015, 02:08 pm
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abelito

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Sean \( (X,\|\cdot\|) \) , \( (Y,\|\cdot\|) \) espacios de Banach y sea \( B:\,X\times Y\rightarrow K \) lineal y continua en cada componente, es decir, para
cada \( x\in X \) la aplicación \( y\mapsto B(x,y) \) es lineal y continua y para cada \( y\in Y \) la aplicación \( x\mapsto B(x, y) \) es lineal y continua.

Pruébese que \( B \) es continua en \( X\times Y \) .

23 Enero, 2015, 03:15 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola abelito,

 el enunciado sugiere usar el Teorema de Banach-Steinhaus (también conocido como Teorema de Acotamiento Uniforme).


P.D.
Nuevamente:
P.D. Recuerda escribir las fórmulas matemáticas entre [tex] ....  [/tex]

Sin eso no se generan las fórmulas. Esta vez hice las correcciones en tu mensaje, pero tenlo en cuenta en futuros mensajes.

24 Enero, 2015, 01:22 am
Respuesta #2

abelito

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vale , muchas gracias.

24 Enero, 2015, 04:00 am
Respuesta #3

mathtruco

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Hola. Si necesitas alguna aclaración postéala en el mismo hilo donde formulaste la pregunta.
No es necesario repetir la pregunta completa en otro post.

24 Enero, 2015, 03:51 pm
Respuesta #4

abelito

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hola ,
para aplicar el teorema de Banach-Steinhaus , la aplicacion tiene que ser convergente
sinceramente no se como aplicarlo , estoy un poco perdio en este tema .

gracias .

25 Enero, 2015, 04:27 pm
Respuesta #5

mathtruco

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Tenemos \( (X,\|\cdot\|) \)  y  \( (Y,\|\cdot\|) \) Banach  y  \( B:\,X\times Y\rightarrow\mathbb{K} \) bilineal y continua en cada componente.

- Dado \( x\in X \), definimos el funcional \( B_x:\,Y\rightarrow\mathbb{R} \)  por \( B_x(y):=B(x,y) \)  para todo \( y\in Y \), y
- Dado \( y\in Y \), definimos el funcional \( B_y:\,X\rightarrow\mathbb{R} \)  por \( B_y(x):=B(x,y) \)  para todo \( x\in X \).

Se sigue que \( B_x \) y \( B_y \) son funcionales lineales y continuos, por lo que existen \( \|B_x\| \) y \( \|B_y\| \) tales que

\( \displaystyle\sup_{\|x\|=1}\|B_y(x)\|=\|B_x\|<\infty \)  y  \( \displaystyle\sup_{\|y\|=1}\|B_x(y)\|=\|B_y\|<\infty \).

Considera la familia indexada de transformaciones de \( X \) en \( \mathbb{R} \):

    \( \{B_y:\,\|y\|=1\} \).

Ahora queda aplicar el teorema de Banach-Steinhaus y concluir. Cuéntanos como te va.

25 Enero, 2015, 09:58 pm
Respuesta #6

abelito

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Este es el teorema de la acotacion uniforme que tengo yo , ¿sería posibe resolverlo con este?.


Sean X e Y espacios normados y \( \{T_j\}_j\in{I} \) una familia de aplicaciones
lineales y continuas de X en Y . Supongamos que
(i) X es de Banach
(ii) Para cada \(  x\in X \) el conjunto \( \{T_j (x) : j \in I\} \) es acotado en Y .
Entonces el conjunto \( \{\|T_j\|:j\in I\} \) es acotado en \( \mathbb{R} \).
 

25 Enero, 2015, 11:02 pm
Respuesta #7

mathtruco

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El teorema es exactamente el mismo.

Tenemos \( (X,\|\cdot\|) \)  y  \( (Y,\|\cdot\|) \) Banach  y  \( B:\,X\times Y\rightarrow\mathbb{K} \) bilineal y continua en cada componente.

- Dado \( x\in X \), definimos el funcional \( B_x:\,Y\rightarrow\mathbb{R} \)  por \( B_x(y):=B(x,y) \)  para todo \( y\in Y \), y
- Dado \( y\in Y \), definimos el funcional \( B_y:\,X\rightarrow\mathbb{R} \)  por \( B_y(x):=B(x,y) \)  para todo \( x\in X \).

Se sigue que \( B_x \) y \( B_y \) son funcionales lineales y continuos, por lo que existen \( \|B_x\| \) y \( \|B_y\| \) tales que

\( \displaystyle\sup_{\|x\|=1}\|B_y(x)\|=\|B_x\|<\infty \)  y  \( \displaystyle\sup_{\|y\|=1}\|B_x(y)\|=\|B_y\|<\infty \).

Considera la familia indexada de transformaciones de \( X \) en \( \mathbb{R} \):

    \( \{B_y:\,\|y\|=1\} \).

Ahora queda aplicar el teorema de Banach-Steinhaus y concluir. Cuéntanos como te va.

A continuación reescribo lo que llevamos en la forma de como enunciaste el teorema.

Tenemos que \( X \) y \( \mathbb{R} \) son espacios normados, y que \( \{B_y:\,\|y\|=1\}=\{B_y\}_{y\in I} \) es una familia de aplicaciones lineales y continuas de \( X \) en \( \mathbb{R} \), donde \( I=\{y\in Y:\,\|y\|=1\} \).

(i)  \( X \) es Banach.
(ii) Para cada \( x\in X \) el conjunto \( \{B_y(x)\}_{y\in I} \) es acotado en \( \mathbb{R} \).

Luego, el teorema afirma que el conjunto \( \{\|B_y\|\}_{y\in I} \) es acotado en \( \mathbb{R} \) por lo que existe \( M>0 \) tal que

    \( M\geq\displaystyle\sup_{y\in Y,\|y\|=1}\|B_y\|=\sup_{y\in Y,\|y\|=1}\left[\sup_{x\in X,\|x\|=1}|B_y(x)|\right] \)   (def de norma del operador)

        \( =\displaystyle\sup_{y\in Y,\|y\|=1}\sup_{x\in X,\|x\|=1}|B(x,y)|=\sup_{y\in Y}\sup_{x\in X}|B(\dfrac{x}{\|x\|},\dfrac{y}{\|y\|})| \)

        \( =\displaystyle\sup_{y\in Y}\sup_{x\in X}\dfrac{|B(x,y)|}{\|x\|\,\|y\|}\geq \dfrac{|B(x,y)|}{\|x\|\,\|y\|} \)  para todo \( (x,y)\in X\times Y\setminus (0,0) \)

de donde

    \( |B(x,y)|\leq M\|x\|\,\|y\| \).

26 Enero, 2015, 12:17 am
Respuesta #8

abelito

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Muchas gracias maquina ,

Saludos .

30 Enero, 2015, 02:58 pm
Respuesta #9

abelito

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una duda mas , como pruebo que B es continua apartir de eso ?