Autor Tema: Altura de un trapecio

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24 Junio, 2013, 12:38 am
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telu

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Hola. Quiero hallar la altura de un trapecio sabiendo que su area = 2 y la suma de sus diagonales = 4.

Muchas gracias desde ya.
Saludos

01 Julio, 2013, 12:48 am
Respuesta #1

telu

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Hola. Encontré la respuesta en otro un foro en inglés (http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=13&t=41285&sid=63194b77927e4cfd0d7c016c23914e9b). La traduzco por si a alguien le interesa.

Sean "x" e "y" las longitudes de las diagonales.

Por la desigualdad entre la media geométrica, la media aritmética y por hipótesis, \( \displaystyle\sqrt{xy} \leq{} \frac{x+y}{2} = 2 \Rightarrow{} \frac{xy}{2} \leq{} 2  \) (1). Recordemos que la igualdad se cumple sólo cuando x = y = 2.
El área de un cuadrilátero es: \( \displaystyle S=\frac{xy}{2}.\sen{\widehat{xy}}  \)
Como S=2, resulta \( \displaystyle \frac{xy}{2}.\sen{\widehat{xy}} = 2 \). Además, de la desiguldad (1) se deduce: \( \displaystyle \frac{xy}{2}= 2 \) (con x=y=2), ya que la alternativa de menor no es compatible con \( \displaystyle \frac{xy}{2}.\sen{\widehat{xy}} = 2 \).
De estas dos igualdades resulta: \( \displaystyle \frac{xy}{2}.\sen{\widehat{xy}} = \displaystyle \frac{xy}{2} \Rightarrow{} \sen{\widehat{xy}} = 1  \Rightarrow{} \widehat{xy} = 90^\circ   \).
De esto se deduce que los ángulos formados por la base mayor y las diagonales son de \(  45^\circ   \).
Ahora resulta fácil halla la altura si consideramos el triángulo rectángulo de hipotenusa “x”, altura “h” (la del trapecio)\( h= x. sen{\widehat{45^\circ}} = 2. \frac{\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2} \)