Supon que \( X \) es compleo y toma una familia de cerrados \( \{A_i\} \) no vacíos y nidados cuyo diamentro tiene a cero. Quieres demostrar que tiene intersección no vacía.
Toma una sucesión \( \{x_n\} \) donde \( x_n\in A_{n} \). Esta sucesión es de Cauchy pues si \( n>m \), entonces \( x_n,x_m\in A_n \) y entonces \( |x_n-x_m| < diam A_n \). Entones para cada \( \varepsilon >0 \) toma \( N \) tal que \( diam A_N < \varepsilon \), para \( n,m>N \) se tiene que \( |x_n-x_m| < \varepsilon \).
Por ser \( X \) completo, y la sucesión de Cauchy, esta sucesión es convergente, digamos que converge a \( x \). \( x\in A_m \) para todo m, pues \( A_m \) es cerrado y por lo tanto contiene a a todo punto límite (nota que \( (x_m) \) es una sucesión que contiene una subsucesión con todos sus terminos en \( A_n \), para todo n.
Esto demuestra que la intersección es no vacía.
Conversamente, si \( (x_n) \) es una sucesión de Cauchy, definie \( A_m=\overline{(x_n)-\{x_1,x_2,\cdots, x_m\}} \) es una familia de cerrados aniados y por lo tanto tiene intersección no vacía, Es facil darse cuenta que la sucesión converge a la intersección.
