[EnRlquE]

Hola, puedo demostrar que cualquier función lineal o bilineal es continua, pero no consigo generalizar la idea, para funciones n-lineales  , es decir si consideramos la siguiente función

\( f:\mathbb{R}^{m}\times\dots\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R} \)

n-lineal

Spoiler

es decir es lineal con respecto a cada una de sus variables manteniendo las otras constantes, esto es \( f(v_{1},\dots,v_{i}+cw,\dots,v_{n})=f(v_{1},\dots,v_{i},\dots,v_{n})+cf(v_{1},\dots,w,\dots,v_{n}) \), para cualquier \( i \) de 1 a \( n \)

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¿Cómo puedo demostrar que \( f \) es continua en todo su dominio?

De antemano agradesco su ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

 Por ejemplo si el producto es de k \( R^m \). Por ser multilineal se verifica que:

\(  f((x_{11},\ldots,x_{1m}),\ldots,(x_{k1},\ldots,x_{km}}))=\sum_{1\leq i_1,\ldots,i_k\leq m}x_{1i_1}\ldots x_{ki_k} f(e_{i_1},\ldots,e_{i_k}) \)

 Entonces, como los \( f(e_{i_1},\ldots,e_{i_k}) \) son constante,s puede verse como una aplicación de:

\(  R^{km}\equiv R^m\times \ldots \times R^m \)

 a

 R

 que es suma de productos de funciones continuas. Por tanto continua.

Saludos.

[EnRlquE]

Muchas gracias por la respuesta  .