[Snake_fury]

Como demuestro que \( \mathbb{R}^n \) es conexo usando el hecho de que si cada \( A_i \) es conexo entonces \( \cup{A_i} \) es conexo si \( \cap{A_i}\neq{\emptyset} \).

Supongo que debo establecer un homeomorfismo entre R y una recta de Rn que pasa por el origen como hago eso formalmente???

[Luis Fuentes]

Hola

 Por ejemplo para \( R^2 \) utiliza que:

 \( A_t=R\times \{0\}\cup \{t\}\times R \) es conexo por la propiedad que dices.

 Ahora

 \( R^2=\cup_{t\in R} A_t \) es conexo por la misma propiedad.

 Ten en cuenta que \( R\times \{0\} \) es homeomorfo a R y por tanto conexo. El homeomorfismo es el obvio:

 \( R\times \{0\}\longrightarrow{} R \qquad \qquad  (x,0)\longrightarrow{}x \)

 Idem para \( \{t\}\times R \)

 Para \( R^n \) generaliza esto.

Saludos.

P.D. En realidad esto es un caso particular de la siguiente propiedad más general y que se prueba de manera análoga: el producto de conexos es conexo.