Autor Tema: Polítopos regulares y n- esfera

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24 Diciembre, 2006, 10:31 pm
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kujonai

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Saludos a la comunidad, quiero hacer una proposición. Si no, que se demuestre lo contrario:

En un polítopo regular (en 2 dimensiones son los polígonos y en 3 los poliedros, etc) y en una n-esfera (las proyecciones de las esferas en n-dimensiones, círculo, esfera, etc), siempre su "contenido" (en 2 dimensiones es el área y en 3 el volumen ) será directamente proporcional a su "borde" (el perímetro en dos dimensiones y el área en tres) y a su "radio interno" (es el radio de la n-esfera inscrita tangente a los "lados(caras, etc)" del polítopo) e inversamente proporcional al "numero de dimensiones" del polítopo o n-esfera en cuestión, queda así:

Contenido = \( \displaystyle\frac{Borde * Ri}{Número de Dimensiones} \)

quedándonos en \( \displaystyle\frac{Contenido}{Borde} \) = \( \displaystyle\frac{Ri}{N} \)

En el caso de la n-esfera su Ri es su r cumpliéndose también esta propiedad.

Ej:  un cuadrado de lado 3, tiene perimetro 12 y area 9, el radio interno es de 1,5 y
tiene 2 dimensiones.

\( \displaystyle\frac{9}{12} \) = \( \displaystyle\frac{1,5}{2} \)

Lo mismo ocurirra con todos los poligonos, y los poliedros regulares, al = que con el circulo y la esfera. Para las figuras de 2 dimensiones el area es proporcional con el
perimentro y Ri e inversamente proporcional con 2(dimensiones). Para los cuerpos
el volumen es proporcional al area y al Ri e inversamente proporcional a 3.
asi es lo mismo indefinidamente.

 



26 Diciembre, 2006, 01:27 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 En los casos conocidos de dimensión 2 y 3, la relación entre área y volumen es consecuencia de que:

 - la superficie del triángulo es base por altura partido de DOS.

 - el volumen de la pirámide es superficie de la base por la altura partido de TRES.

 La cuestión es como generaliza eso. Tu afirmas que:

 - el (n)-volumen de la hiper-pirámide es el (n-1)-volumen de la base por la altura partido de n

 A pensarlo....

Saludos.

26 Diciembre, 2006, 01:34 pm
Respuesta #2

germanzorba

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Bueno, resulta que es cierto para bolas, aunque en la demostración que yo me imagino encaja mejor en un curso de teoría de la medida que en uno de geometría:

Llamemos \(  S(r)  \) a la medida de la cáscara de la bola de radio \(  r  \). No es difícil demostrar que \(  S(r) = r^{n-1} S(1)  \).

Ahora, integrando en "coordenadas polares", la medida de la bola de radio \(  R  \) es:

\( \displaystyle
\int_{0}^{R} S(r) dr = \int_{0}^{R} r^{n-1}S(1) dr
=\cdots=\frac{R^n S(1)}{n}=\frac{S(R)R}{n}
 \)

La parte que correspondería a un ejercicio de teoría de la medida es ver que la medida obtenida al integrar de esta manera en "coordenadas polares" es equivalente a la medida usual en \(  \mathbb{R}^n  \).

Para objetos más generales, cuato menos habría que pedir que desde el centro de la bola inscrita las líneas que van hasta el borde no intersequen al borde en otros puntos. Aún en este caso no se me ocurre cómo mostrar que las dos medidas son equivalentes.

26 Diciembre, 2006, 01:38 pm
Respuesta #3

kujonai

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pero eso es consecuencia dependiendo en que dimension este el analogo del
n-triangulo, ya que con solo saber eso se se pone en la relacion, y respecto a lo
mas reciente, no entiendo cual es tu duda a y ademas que esta relacion es
para todos lo poligonos y poliedros regulares, incluyendo el circulo y la esfera.

26 Diciembre, 2006, 02:28 pm
Respuesta #4

argentinator

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Si tomo un triángulo inicial T, y otro simétrico a este, y los ''pego'' por uno de sus lados comunes, queda formado un paralelogramo.
Como la medida (de Lebesgue) es invariante por transformaciones rígidas, ambos triángulos tienen la misma medida.
La medida del paralelogramo será, seguramente, base x altura, luego cada triangulo debió tener medida base x altura / 2.

En el caso de 3 dimensiones, ¿cuántas pirámides hay que pegar para formar un ''paralelogramo'' de 3 dimensiones (un paralelepípedo inclinado). ¿Basta con 2?

¿Y para n dimensiones? ¿Cuantas de estas pirámides equivalentes se necesitan para ue, al pegarse, formen un ''paralelogramo'' de n dimensiones?

A lo mejor de ahí sea más facil deducir los n-volúmenes.
Luego se puede comprobar  / refutar la fórmula, porque deberíamos saber contar cuantas aristas, caras, etc. tienen estos objetos en n-dimensiones.





26 Diciembre, 2006, 03:57 pm
Respuesta #5

kujonai

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Lo que realmente quiero dejar en claro en esa razón, es que la relación contenido-borde de un objeto es proporcional al radio interno-dimensión del objeto, claro que hay que tener las fórmulas para su borde y contenido, tan sólo eso.

26 Diciembre, 2006, 04:29 pm
Respuesta #6

germanzorba

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Me parece que la demostración que dí para bolas está bien, si alguien puede chequear las cuentas por las dudas de que haya metido la pata estaría bien.

Por otro lado, para politopos tales que todas sus "caras" son tangentes a la misma bola, como dijo el manco, la fórmula es válida si
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el (n)-volumen de la hiper-pirámide es el (n-1)-volumen de la base por la altura partido de n
(porque el politopo puede descomponerse en una cantidad finita de tales hiper-pirámides, cada una con base en una "cara" y vértice en el centro de la esfera)

A modo de observación: no es necesario que el politopo sea regular, alcanza con que todas sus caras sean tangentes a la misma bola.

Para demostrar que la medida de una pirámide es igual a la altura por la medida de la base dividido n, propongo el siguiente camino (que es un poco más geométrico que el que propuse para bolas):

1) Describir la hiper-pirámide como una unión de copias a escala de la base. (las copias son las intersecciones de la pirámide con hiperplanos paralelos a la base).

2) Verificar que al cambiar una figura de dimensión n-1 de escala, su medida cambia en proporción a la escala^(n-1). (por ejemplo, al triplicar las proporciones de una figura de dimensión cuatro, su medida se multiplica por 81)

3) Calcular la medida de la pirámide como integral de las medidas de sus cortes.

26 Diciembre, 2006, 04:40 pm
Respuesta #7

kujonai

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Bueno tal vez tengan razón, aunque yo no entiendo nada de integrales, ni cosas por ese estilo, más bien una forma más simple es por razones, para lo que me alcanza la cabeza, vale.

26 Diciembre, 2006, 06:19 pm
Respuesta #8

germanzorba

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Muchas de la fórmulas y técnicas usadas en matemática pasan por dos etapas: primero se debe descubrir una regularidad de la cual poder obtener una regla general, luego se debe demostrar que dicha regla es válida.
La primera parte requiere de mucha imaginación e inteligencia (y en ocasiones de un arduo trabajo de ver ejemplos y más ejemplos).
La segunda requiere de práctica en el uso de algunas herramientas matemáticas y un poco de prolijidad (y en ocasiones de un arduo trabajo de escritura y exploración de detalles que podrían haber quedado vacíos).

Lo que vos hiciste, deducir una fórmula general a partir del conocimiento de la fórmula de área, volumen y longitud de unas cuantas figuras, muestra una buena intuición. Es una habilidad muy importante para la matemática que la mayoría vamos perdiendo con el tiempo. Más meritorio aún cuando no tenés conocimiento de herramientas que permitan manejar cómodamente la noción de medida en más de 3 dimensiones.

Lo que yo hice es hacer cuentas a partir de tu idea, usando integrales que es la forma que mejor conozco para trabajar con longitudes, superficies, volúmenes y medidas de mayor dimensión.

Digamos que me aproveché de tu inteligencia para escribir algunas cosillas de matemática ;)

Los dos posts míos son adecuados para estudiantes de Análisis II (el segundo) o de Teoría de Medida (el primero). Para demostraciones más geométricas (como lo que decía argentinator), una vez vi el dibujo en el que formaban un cubo con 3 pirámides, y debo admitir que mi imaginación no fue suficiente. Y si no soy capaz de imaginarme un hipercubo de 4 dimensiones, menos aún podría pensar en descomponerlo en 4 hiperpirámides. Admiro a aquellos que pueden imaginarse cosas en más de 3 dimensiones.

27 Diciembre, 2006, 08:28 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

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¿Y para n dimensiones? ¿Cuantas de estas pirámides equivalentes se necesitan para ue, al pegarse, formen un ''paralelogramo'' de n dimensiones?


El método que propone argentinator funciona perfectamente bien. Es fácil ver que un n-cubo de lado 1 se descompone en n-pirámides. Esta descomposición es fácil de describir.

Si el n-cubo es:

\( [0,1]\times[0,1]\times \ldots \times [0,1] \)

y llamamos \( (x_1,x_2,\ldots,x_n) \) a las coordenadas de un punto del mismo. Entonces cada una de las n-pirámides (iguales) tiene como base la cara de ecuación \( x_i=0 \) y como vértice el punto \( (1,1,\ldots,1)  \) Es fácil comprobar que todo el punto del cubo está en una y sólo una de estas pirámides si exceptuamos sus fronteras de dimensión n-1 (de ecuaciones \( x_i=x_j \)).

Por tanto el volumen de cada una de ellas es 1/n=area de la base*altura/n.

Esto es suficiente para probar el resultado para otras pirámides de base hiperrectangular, sin más que tener en cuenta que una transformación lineal de \( R^n \) modifica el volumen multiplicadno por el determinante de la matriz asociada.

A su vez esto justifica la fórmula para otras pirámides, "cuadriculando" al estilo de la integral de Riemman sus bases.

Saludos.