[Michel]

Dado un triángulo rectángulo ABC, construir un punto P interior tal que los ángulos PAB, PBC y PCA sean iguales.

[feriva]

Dado un triángulo rectángulo ABC, construir un punto P interior tal que los ángulos PAB, PBC y PCA sean iguales.

Hola, Michel. Pongo un dibujo. 



Un cordial saludo.

[Michel]

Hola, Feriva:

He visto el dibujo y a ojímetro parece, sólo lo parece, que puede estar bien.

En los problemas de construcciones, que en mi opinión son los más interesantes y formativos, es necesario explicar los pasos seguidos para llegar al resultado.

Espero tu respuesta.

Otro saludo, tan cordial como el tuyo.

[feriva]

Hola, Feriva:

He visto el dibujo y a ojímetro parece, sólo lo parece, que puede estar bien.

En los problemas de construcciones, que en mi opinión son los más interesantes y formativos, es necesario explicar los pasos seguidos para llegar al resultado.

Espero tu respuesta.

Otro saludo, tan cordial como el tuyo.

Buenos días, Michel. Gracias por tu respuesta. El dibujo está hecho aproximadamente, las medidas no son del todo exactas.
 Lo pongo con la intención de que alguien más participe, porque me parece un problema bonito. Tengo en la cabeza alguna que otra forma de solucionarlo partiendo de tres triángulos rectángulos semajantes y haciendo una comparación entre los ángulos de esos triángulos y de los otros que completan el rompecabezas. Pero el problema merece que se anime alguien más a participar e ir poco a poco para ver las ideas de cada uno.

Un saludo cordial.

[Michel]

Una primera pista:
En el triángulo PAB hay dos ángulos complementarios.

[feriva]

Buenos días, Michel. Me permito ampliar un poco la pista:

 Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos opuestos según esa diagonal, en los puntos que corta a las paralelas, son iguales.

 Un cordial saludo.



Añado un dibujo

Trazando unas perpendiculares a cada lado del triángulo desde el punto "p" se han construido tres triángulos rectángulos dentro del tirángulo dado; que forman como un molinillo de papel y que a su vez completan el triángulo dado con otros tres triángulos rectágulos. Estos triángulos son semejantes por tener un ángulo recto y otro ángulo común (que es el ángulo del enunciado, al que he llamado theta). Cada ángulo theta ecuentra en la circunferencia que rodea al punto "P" su opuesto; al menos en algunos cuadrantes vemos a primera vista que theta es complementario de un ángulo  omega...

(*nota: el dibujo no está hecho con medidas exactas)





   

[Michel]

He aquí como lo he hecho:

Con frecuencia da excelentes resultados suponer el problema resuelto.
Sea a el valor de cada un de los tres ángulos. (Dibujo aparte),

En el triángulo CPA los ángulos ACP y CAP son complementarios,  por lo que el ángulo CPA es recto; entonces el punto P está en la semicircunferencia de diámetro AC.

Por otra parte, en el triángulo CPB: áng CPB = 180º - (C - a) - a = 180º - C.
De aquí se deduce que desde P se ve el segmento BC bajo el ángulo 180º - C, luego el punto P está también en el arco capaz de 180º - C sobre el segmento BC.

Por tanto, la construcción es la siguiente:
1. Semicircunferencia de diámetro AC.
2. Arco capaz de 180º - C sobre BC.
3. Punto de intersección de esos dos arcos.

Un saludo.

[feriva]

He aquí como lo he hecho:

Con frecuencia da excelentes resultados suponer el problema resuelto.
Sea a el valor de cada un de los tres ángulos. (Dibujo aparte),

En el triángulo CPA los ángulos ACP y CAP son complementarios,  por lo que el ángulo CPA es recto; entonces el punto P está en la semicircunferencia de diámetro AC.

Por otra parte, en el triángulo CPB: áng CPB = 180º - (C - a) - a = 180º - C.
De aquí se deduce que desde P se ve el segmento BC bajo el ángulo 180º - C, luego el punto P está también en el arco capaz de 180º - C sobre el segmento BC.

Por tanto, la construcción es la siguiente:
1. Semicircunferencia de diámetro AC.
2. Arco capaz de 180º - C sobre BC.
3. Punto de intersección de esos dos arcos.

Un saludo.

Qué solución tan elegante, buscando el lugar geométrico de esas semicircunferencias; y yo volviéndome loco con un montón de ángulos y de cosas.

 Otro saludo.

[aladan]

En el triángulo CPA los ángulos ACP y CAP son complementarios,  por lo que el ángulo CPA es recto; entonces el punto P está en la semicircunferencia de diámetro AC.

michel, le dediqué algún tiempo al problema que has planteado, no llegué a nada, vista la solución que aportas me queda la duda de la justificación en base a la cual el triángulo CPA es rectángulo, a partir de ahí la cuestión es bastante ligera pero de momento no veo esa justificación, .............., ¡Oh! ya la he visto, ¡que tonto!

Saludos