Autor Tema: Desigualdad para machotes

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06 Octubre, 2006, 01:08 am
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Grilllo

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  • La matematica es lo muy perfecto para ser real.
Un punto P es interior a un triángulo, cuyos lados mayores son b y c.
Si l, m y n son las distancias a los vértices, demostrar que l + m  + n
es menor que  b + c.



El programa procede de un preparatorio para el ingreso en la Escuela de
Minas, por los años 50.
Este problema es como la lucha libre.... vale todo, pueden usar: geometría euclídea, analítica, proyectiva, trigonometría, afín, vectores, grafos, análisis, álgebra, intuición, adivinación, astrología, ¡lo que quieran!

Saludos
Rigor matemático es demostrar un hecho matemático evidente de tal manera que deje de ser obvio.

10 Octubre, 2006, 08:20 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Una posible prueba:

Spoiler
Razonando con cuidado, no hace falta practicamente ninguna cuenta....

 1) Podemos suponer c=a. Basta girar el segmento n aumentando a y disminuyendo c hasta igualarlos. Si probamos la desigualdad para ese c más pequeño, la tendremos para el triángulo inicial. (Este argumento puede reiterarse incluso hasta reducir el problema a un triángulo equilátero... pero no hace falta).

 2) Fijamos la longitud m+l. Entonces estudiamos donde hay que colocar P para que m+l+n sea máximo. Esto es fácil si se tiene en cuenta que con m+l fijo, P recorre precisamente la elipse de focos los extremos del lado b. Ahora es muy fácil comprobar que m+l+n es máximo precisamente cuando P está sobre el lado a o el lado c.

 3) Una vez que probado esto, es inmediato comprobar que si P está sobre los lados a o c el máximo valor de m+l+n es b+c.
[cerrar]

Saludos.