Autor Tema: Clasificación de puntos singulares

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23 Junio, 2010, 07:07 pm
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Goldbach

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Hola, estoy intentando hacer una clasificación de los puntos singulares de una curva dependiendo de cómo se comportan sus derivadas y obteniendo a partir de Taylor sus ec. paramétricas. He estudiado ya estos casos:

1. Si \( \alpha'(t_0)\neq{0} \), el punto se llama "ordinario". Distinguimos 2 casos:

a) Si \( \alpha''(t_0) \) es linealmente independiente con respecto a \( \alpha'(t_0) \).
Entonces \( \alpha(t_0+h)=\alpha(t_0)+h\alpha'(t_0)+\displaystyle\frac{h^2}{2}\alpha''(t_0)+o(h^2) \).
Por tanto, en el s.r.a. \( (\alpha(t_0),\{\alpha'(t_0),\alpha''(t_0)\}) \) la curva tiene por ec. paramétricas \( \begin{Bmatrix}x=h+o(h^2) & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^2}{2}+o(h^2) & \mbox{}& \end{matrix} \).
Luego una aproximación, en un entorno del punto \( \alpha(t_0) \), será \( \begin{Bmatrix}x=h & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^2}{2} & \mbox{}& \end{matrix} \).

b) Si \( \alpha''(t_0) \) es proporcional a \( \alpha'(t_0) \) y \( \{\alpha'(t_0),\alpha'''(t_0)\} \) es libre.
Entonces \( \alpha(t_0+h)=\alpha(t_0)+(h+\displaystyle\frac{h^2}{2}\lambda)\alpha'(t_0)+\displaystyle\frac{h^3}{3!}\alpha'''(t_0)+o(h^3) \).
Por tanto, en el s.r.a. \( (\alpha(t_0),\{\alpha'(t_0),\alpha'''(t_0)\}) \) la curva tiene por ec. paramétricas \( \begin{Bmatrix}x=h+\displaystyle\frac{h^2}{2}\lambda+o(h^3) & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^3}{3!}+o(h^3) & \mbox{}& \end{matrix} \).
Luego una aproximación, en un entorno del punto \( \alpha(t_0) \), será \( \begin{Bmatrix}x=h & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^3}{3!} & \mbox{}& \end{matrix} \).
En este caso, se dice que \( \alpha(t_0) \) es un "punto de inflexión".

2. Si \( \alpha'(t_0)=0 \), el punto se llama "estacionario". Distinguimos 2 casos:

a) Si los vectores \( \alpha''(t_0) \) y \( \alpha'''(t_0) \) son linealmente independientes.
Entonces \( \alpha(t_0+h)=\alpha(t_0)+\displaystyle\frac{h^2}{2}\alpha''(t_0)+\displaystyle\frac{h^3}{3!}\alpha'''(t_0)+o(h^3) \).
Por tanto, en el s.r.a. \( (\alpha(t_0),\{\alpha''(t_0),\alpha'''(t_0)\}) \) la curva tiene por ec. paramétricas \( \begin{Bmatrix}x=\displaystyle\frac{h^2}{2}+o(h^3) & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^3}{3!}+o(h^3) & \mbox{}& \end{matrix} \).
Luego una aproximación, en un entorno del punto \( \alpha(t_0) \), será \( \begin{Bmatrix}x=\displaystyle\frac{h^2}{2} & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^3}{3!} & \mbox{}& \end{matrix} \).
En este caso, se dice que \( \alpha(t_0) \) es un "punto de retroceso de 1ª especie".

b) Si \( \alpha'''(t_0) \) es proporcional a \( \alpha''(t_0) \) y \( \{\alpha''(t_0),\alpha^{iv}(t_0)\} \) es libre.
Entonces \( \alpha(t_0+h)=\alpha(t_0)+(\displaystyle\frac{h^2}{2}+\displaystyle\frac{h^3}{3!}\lambda)\alpha''(t_0)+\displaystyle\frac{h^4}{4!}\alpha^{iv}(t_0)+o(h^4) \).
Por tanto, en el s.r.a. \( (\alpha(t_0),\{\alpha''(t_0),\alpha^{iv}(t_0)\}) \) la curva tiene por ec. paramétricas \( \begin{Bmatrix}x=\displaystyle\frac{h^2}{2}+\displaystyle\frac{h^3}{3!}\lambda+o(h^4) & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^4}{4!}+o(h^4) & \mbox{}& \end{matrix} \).
Luego una aproximación, en un entorno del punto \( \alpha(t_0) \), será \( \begin{Bmatrix}x=\displaystyle\frac{h^2}{2} & \mbox{}& \\y=\displaystyle\frac{h^4}{4!} & \mbox{}& \end{matrix} \).
En este caso, se dice que \( \alpha(t_0) \) es un "punto de retroceso de 2ª especie".

Tengo que seguir distinguiendo casos y hacer lo mismo con el resto de puntos singulares que quedan. Creo que me quedan los puntos vértices, múltiples, angulosos, impropios y asintóticos, pero no sé que relación hay entre sus derivadas en cada caso para escribir la fórmula de Taylor y una aproximación de sus ec. paramétricas para hacer como en los casos que ya he hecho.

Muchas gracias.