Autor Tema: Números directores de la ecuación de una tangente

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04 Abril, 2006, 09:19 am
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Joaquin_mx

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Hola.

Tengo una duda de cómo obtener los parámetros o números directores de la ecuación de la tangente a una curva de intersección de dos superficies:

\( F(x,y,z)=0 \) y \( G(x,y,z)=0 \)

entonces las ecuaciones de la tangente en un punto \( P(x_1,y_1,z_1) \) se escriben así:

\( \displaystyle\frac{x-x_1}{A}=\displaystyle\frac{y-y_1}{B}=\displaystyle\frac{z-z_1}{C} \)

Los parámetros A,B,C se supone que son los siguientes y esto es lo que no sé de dónde sale...

\( A=\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1 \)

\( B=\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1 \)

\( C=\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1 \)

Un saludo.
C'est avec la logique que nous prouvons et avec l'intuition que nous trouvons." Jules Henri Poincaré

04 Abril, 2006, 09:58 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Si contestas y relacionas estas preguntas, quizá deduzcas algo:

 1) ¿Sabes cuál es la ecuación del plano tangente en un punto de una superficie dada su ecuación implícita:

\(  F(x,y,z)=0 \)?

 2) La expresión de A, B y C ¿no te recuerda al desarrollo de un cierto determinante por una fila?.

 3) ¿Sabes qué es y cómo se calcula el producto vectorial?

Saludos.

05 Abril, 2006, 01:19 am
Respuesta #2

Joaquin_mx

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Hola el_manco

A veces se topa uno en los libros con cosas que ni idea de donde vienen y las dejan caer asi de sopetón y ahí es donde la marrana torció el rabo...

Con lo que me dices:

1 las ecuaciones implicitas de los planos tangentes en un punto.

\( \left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\,(x-x_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\,(y-y_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\,(z-z_1)=0 \)

\( \left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1\,(x-x_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1\,(y-y_1)\,+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1\,(z-z_1)=0 \)

2 .Resolviendo el producto vectorial.

\( \left|{\begin{matrix}{(x-x_1)}&{(y-y_1)}&{(z-z_1)}\\{\left ({\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right )_1}\\{\left ({\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right )_1}&{\left ({\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right )_1}\end{matrix}\right| \)

y del producto un plano Normal.

\( \left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1\,(x-x_1)\, \)\( +\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial z}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial z}}}\right |_1\,(y-y_1)\,+... \)

\( ...+\,\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial y}}}\right |_1-\left |{\displaystyle\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}\right |_1\left |{\displaystyle\frac{{\partial G}}{{\partial x}}}\right |_1\,(x-x_1)=0 \)

o \( A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1) \)

y asi ya me es evidente de donde viene... :)

muchas gracias el_manco, una vez mas me has sacado del hoyo...

un saludo.
C'est avec la logique que nous prouvons et avec l'intuition que nous trouvons." Jules Henri Poincaré