Autor Tema: A vueltas con los dichosos conos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

04 Enero, 2009, 08:11 pm
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quijote

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Hola a todos

Tengo el siguiente problema sin solución, a ver si alguien se atreve a sacar la formula que lo resuelve.

Tengo un rectangulo sobre el que se apoyan "n" conos en sus bordes. El número minimo de conos es 4 (uno en cada vertice) y el maxímo "n". Los cono se pueden cortar. Los lados mayores tienen "j" conos (los 2 lados los mismos) y los menores "i" conos (los 2 lados los mismos). Se trata de calcular la ecuación o sistema que nos da el volumen de los conos descontando las intersecciones.
Sólo sé que no sé nada

04 Enero, 2009, 11:11 pm
Respuesta #1

Jabato

  • Visitante
¡Jo macho como te expresas! No hay quien entienda ese galimatías de subindices y conos.

Hay varias preguntas:

1ª ¿Como se apoyan los conos, sobre su base, sobre su generatriz?

2ª ¿Todos los conos son iguales?

3ª ¿Los conos puene penetrarse unos con otros? ¿que significa descontando las intersecciones?

4ª ¿Porqué el número mínimo es 4? ¿Porqué no es 1?

5ª ¿Que significa se apoyan sobre sus bordes?

¿Que tal si nos muestras una figurita?

Saludos, Jabato.

05 Enero, 2009, 12:36 am
Respuesta #2

quijote

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Tienes un archivo con un ejemplo en el post. ¿No lo has visto?
Todos los conos son iguales. Se apoyan por el vertice
Sólo sé que no sé nada

05 Enero, 2009, 12:41 am
Respuesta #3

Jabato

  • Visitante
Si, si lo he visto, pero esta corrupto ese archivo no se ve nada.

Saludos, Jabato.

05 Enero, 2009, 12:52 am
Respuesta #4

quijote

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He probado a descargarlo y a mi me funciona. Es un fichero de autocad en 3D, de todas formas te lo adjunto en PDF.
Sólo sé que no sé nada

05 Enero, 2009, 01:21 am
Respuesta #5

Jabato

  • Visitante
Pues no sé para que necesitas resolver semejante problema y tampoco sé si habrá alguien capaz de resolverlo, a mi no me gusta perder el tiempo en semejantes comeduras de tarro salvo que haya una razón que lo justifique, pero como mínimo hace falta conocer las dimnsiones de los conos y la distancia a la que están colocados, aunque sea en forma relativa respecto a las dimensiones del rectángulo, si no es imposible.

Es posible que con una computadora se pueda resolver el problema, usando una técnica parecida a la de la integración. Ahora debo irme pero mañana, cuando tenga un rato, te comento los detalles. La fórmula general va a ser difícil, pero un caso concreto si podría calcularse.

Saludos, Jabato.

05 Enero, 2009, 08:43 am
Respuesta #6

quijote

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Hola Jabato, gracias por tu atención.

El_manco lo resolvío para la circunferencia (es un genio) 8^).
Las dimensiones de los conos son conocidas (h y r), la separación de los conos para el lado mayor es "a/j" y "b/i" para el menor.
Saludos
Sólo sé que no sé nada

05 Enero, 2009, 09:33 am
Respuesta #7

Jabato

  • Visitante
Ya, se entiende que todos los datos necesarios son conocidos, ¿no es eso?

Saludos, Jabato.

05 Enero, 2009, 09:39 am
Respuesta #8

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Sólo sé que no sé nada

05 Enero, 2009, 10:29 am
Respuesta #9

Jabato

  • Visitante
El enfoque que yo le daría sería el siguiente:

1º  Considerar el prisma recto mínimo que contiene a todos los conos. Dicho prisma tendría por base un rectángulo de dimensiones (a+d)(b+d) siendo a y b las dimensiones del rectángulo del enunciado y d el diámetro de la base de los conos, y por altura, la altura de los conos, h. Dicho prisma contendría a todos los conos y por lo tanto su volumen

\( V_p=(a+d)(b+d)h  \)   (1)

sería una cota superior del volumen buscado.

2º Establecería a continuación una división del prisma obtenido en celdillas semejantes a él, a base de dividir cada una de sus dimensiones en n partes, de manera que el prisma total contuviera \( n^3 \) celdillas, cada una de ellas con un volumen:

\( v_n=\displaystyle\frac{V_p}{n^3} \)   (2)

3º Establecería la red de puntos coincidentes con los centros geométricos de todas y cada una de las celdillas.

4º Consideraría una función k, (función en el sentido informático de la palabra) que determinara para cada celdilla un valor k=1 si su centro se encuentra bajo alguno de los conos y un valor k=0 si no está cubierto por ninguno de ellos.

5º Y a continuación realizaría la suma siguiente, extendida a todas las celdillas:

\( v_n\displaystyle\sum_{i=1}^{n^3}k_i \)   (3)


siendo este valor una aproximación del volumen buscado tanto mejor cuanto mayor sea n. El límite cuando n tiende a infinito, sería el volumen buscado:

\( V=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}v_n\displaystyle\sum_{i=1}^{n^3}k_i \)   (4)

El cálculo resulta complicado para una persona, pero no lo es para un ordenador, y aunque los ordenadores no tienen demasiada facilidad para calcular límites, si tienen la posibilidad de realizar aproximaciones a él tan buenas como queramos (dentro de su capacidad, claro).

La mayor dificultad de este proceso es establecer la función k, pero si el paquete de conos es conocido y sus dimensiones también, entonces puede hacerse ya que sería un cálculo repetitivo para todos y cada uno de los conos, trabajo relativamente sencillo para un ordenador. El único inconveniente es que este método no te permite establecer una "expresión algebraica" que te devuelva el volumen mencionado, pero la fórmula, que era lo que pedías, ya la tienes, es la expresión (4). Si tienes interés en realizar un programa informático que te calcule ese volumen para cualquier número de conos, en todas sus variantes y dimensiones, podríamos llegar a un acuerdo, siempre que estuvieras dispuesto a pagar mi tiempo, claro. Es un programa relativamente sencillo, pero mi tiempo vale dinero. 

Saludos, Jabato.