Autor Tema: Altura de un tetraedro. Demostración.

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27 Octubre, 2008, 06:10 pm
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madness

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Hola!! Bien, en clase me han pedido esto:
Demostrar geométricamente que la altura de un tetraedro es [√6/3] · a (Raíz cuadrada de 6, y luego dividido entre 3. Todo eso multiplicado por a -arista del tetraedro-)

Alguna solución? Esque no le encuentro ni pies ni cabeza...  :-\

27 Octubre, 2008, 06:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Se supone que hablamos de un tetraedro regular.



 Entonces cada cara del mismo es un triángulo equilátero de lado \( a \). La altura del mismo se proyecta sobre el centro del triángulo equilátero base. Por pitágoras si llamamos \( \overline{DD'} \) a la altura del tetraedro y \( \overline{D'C} \) a la distancia de la proyección a un vértice del triángulo base se tiene:

\(  a^2=\overline{DD'}^2+\overline{D'C}^2 \)

 Ahora el centro de un triángulo equilátero es su baricentro (intersección de las medianas). Sabemos que las medianas se cortan a los \( 2/3 \) de la distancia de la longitud de la mediana. Pero en el triángulo equilátero, mediana, mediatriz, altura... todo coincide.

 Entonces:

\(  \overline{D'C}=\dfrac{2}{3}h \)

 siendo \( h \) la altura de un triángulo equilátero de lado \( a \).

 Intenta terminar...

Saludos.

27 Octubre, 2008, 06:57 pm
Respuesta #2

madness

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Bueno,creo que mas o menos, jeje.
Intentaré seguir, muchas gracias ^^