[nati]

Hola.
Me ayudan con el siguiente ejercicio?
Por un punto P exterior a una circunferencia se trazan un tangente (en T) y una secante (en A y B) a la misma.
Luego tengo que probar que los triángulos PTA y PBT son semejantes, y demostrar que el segmento de tangente [PT], es media proporcional entre los segmentos de la secante [PA] y [PB].
Gracias 

[Héctor Manuel]

Primero, ya una vez que tienes el dibujo, nombra A al punto de la secante AB mas cercano a P.   Hecho esto, se tiene:
Angulo(APB)=angulo(BPT) por ser el mismo angulo y
Angulo(ATP)=Angulo(PBT) por ser PT tangente y AB secante de la circunferencia.

Luego los dos triangulos tienen sus tres angulos iguales y por tanto son semejantes.De esa semejanza intenta demostrar la proporcionalidad que buscas.

Saludos

[nati]

Ahí hay una dibujo...
No se entiende lo que dijiste... O estoy haciendo mal el dibujo?

[aladan]

Hola
Aplicando el concepto de potencia del  punto, P, respecto de la circunferenca, tienes

                                   \( \bar{PT^2}=\bar{PA}\cdot{\bar{PB}}} \)

Para probar que los dos triángulos son semejantes, demostremos que sus ángulos son iguales, veamos

ángulo T de PAT, es semienscrito a la circunferencia, su valor es la mitad del ángulo central que ocupa el mismo arco de circunferencia, arco AT, igual valor que el ángulo B de PBT inscrito a la circunferencia.

ángulo P, es común a ambos triángulos.

Con lo anterior queda  probado que el tercer ángulo, T de PTB y A de PAT son iguales

Los dos triángulos son semejantes, estableciendo la relación de semejanza tienes

                       \( \displaystyle\frac{PB}{PT}=\displaystyle\frac{PT}{PA}\Rightarrow{\bar{PT^2}=\bar{PA}\bar{PB}} \)

lo que ya probamos con la potencia de P más arriba.
Saludos

[sebasuy]

Hola.

Creo que el objetivo del ejercicio-problema es establecer justamente el concepto de potencia. Por ese motivo es un "ejercicio guiado".

Aladan: en lugar de usar \bar yo uso \overline: \( \overline{AB} \).

Saludos.