[JohnC++]

Calcule, usando residuos, la integral siguiente sobre la curva 𝐶: |𝑧| = 3 , positivamente
orientada
\( \displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{z+1}{z^2-2iz} dz \)

[ingmarov]

Hola

Calcule, usando residuos, la integral siguiente sobre la curva 𝐶: |𝑧| = 3 , positivamente
orientada
\( \displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{z+1}{z^2-2iz} dz \)

Los dos polos de la función están dentro de la curva, habrá que calcular los dos residuos,

Para z=0 hacemos el cambio del integrando a fracciones simples

\[ \displaystyle\frac{z+1}{z^2-2iz}=\dfrac{\frac{1}{2}i}{z}+\dfrac{1-\frac{1}{2}i}{z-2i}=\dfrac{\frac{1}{2}i}{z}+\dfrac{1-\frac{1}{2}i}{-2i(1-\frac{z}{2i})}=\dfrac{\frac{1}{2}i}{z}+\left(\dfrac{1-\frac{1}{2}i}{-2i}\right)\cdot\underbrace{\dfrac{1}{(1-\frac{z}{2i})}}_{\textrm{Aplica la serie geométrica}}=\bf{\color{blue}\dfrac{\frac{1}{2}i}{z}}+\dfrac{1-\frac{1}{2}i}{-2i}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{z}{2i}\right)^k \]

El residuo resulta ser igual a \[ \dfrac{i}{2} \]

Te dejo calcular el otro residuo

Saludos

[JohnC++]

Para \( z= 2i \) el residuo del integrando \( \displaystyle\frac{z+1}{z^2-2iz}  \) es igual a \( 1-\displaystyle\frac{i}{2} \)
 luego cómo sustituyo para hallar el resultado? aplico el teorema del residuo?

[JohnC++]

aplico lo siguiente \( \displaystyle\int_{C} \displaystyle\frac{z+1}{z^2-2iz} dz = 2 \pi i (\dfrac{i}{2} + (1-\dfrac{i}{2}))=2\pi i \)

Saludos

[ingmarov]

Para \( z= 2i \) el residuo del integrando \( \displaystyle\frac{z+1}{z^2-2iz}  \) es igual a \( 1-\displaystyle\frac{i}{2} \)
 luego cómo sustituyo para hallar el resultado? aplico el teorema del residuo?

Sí, debes aplicar el teorema del Residuo



Saludos