[malboro]

Hola estoy viendo la proposición que adjunto como imagen.
No entiendo que quiere decir: \( \gamma \) is the morfihisrn into
the pullback induced by the two morphisms \( u:K\longrightarrow{A_1} \)  and  \( 0:K\longrightarrow{A_2} \).
Viendo la prueba del libro me parece que esta hipótesis es para probar que \( \beta _2\circ \gamma=0 \), por otro lado estoy casi seguro que necesitamos que   \( \beta_1 \)  sea un monomorfismo para concluir la prueba, pero no estoy consiguiendo ver ese resultado.

Espero una sugerencia.

Gracias

[geómetracat]

Esa frase lo que te dice es que \[ \gamma \] es el único morfismo que se obtiene a partir de la definición de pullback. Mira este diagrama que seguramente te lo aclarará:

Entonces por definición ya cumple \[ \beta_2\gamma = 0 \]. Por otro lado, no es necesario que \[ \beta_1 \] sea monomorfismo para concluir. Lo que usa ahí es que tanto \[ \gamma w \] como \[ v \] son morfismos que hacen conmutar el diagrama siguiente (cuando son el morfismo con trazo discontinuo). Como por definición de pullback hay un único morfismo que hace conmutar el diagrama, debe ser \[ \gamma w = v \].

[Luis Fuentes]

Hola

 Es casi off-topic pero simplemente es publicidad de las posibilidades del paquete xy-pic  :

\( \xymatrix{K \ar@(r,u)[rrd]^{0} \ar@(d,l)[ddr]^{u} \ar@{-->}[rd]^\gamma & & \\ & P \ar[r]_{\beta _2} \ar[d]^{\beta_1}& A_2 \ar[d]^{\alpha_2} \\ & A_1\ar[r]_{\alpha_1} & A  } \)

\( \xymatrix{K \ar@(r,u)[rrd]^{\beta_2\gamma w=\beta_2 v} \ar@(d,l)[ddr]_{\beta_1\gamma w=\beta_1 v} \ar@{-->}[rd] & & \\ & P \ar[r]_{\beta _2} \ar[d]^{\beta_1}& A_2 \ar[d]^{\alpha_2} \\ & A_1\ar[r]_{\alpha_1} & A  } \)

Saludos.

[geómetracat]

Culpa mía, debería haberme esforzado más para poner los diagramas en LaTeX, me he rendido enseguida con el xy-pic.
La verdad es que hace tiempo que no escribo diagramas conmutativos en LaTeX a mano (salvo los muy sencillos), sino que uso quiver, que es una herramienta imprescindible cuando tienes que empezar a poner algunos diagramas monstruosos de los que aparecen en teoría de categorías o te vuelves loco. Pero eso va con tikz y creo que el foro no lo soporta.

[malboro]

Muchas gracias Geómetracat y gracias Manco por el aporte de los diagramas ya que tengo conocimientos muy básicos en latex.

Con respecto al ejercicio me parece que en el segundo diagrama es X en vez de K; es decir

\( \xymatrix{X \ar@(r,u)[rrd]^{\beta_2\gamma w=\beta_2 v} \ar@(d,l)[ddr]_{\beta_1\gamma w=\beta_1 v} \ar@{-->}[rd] & & \\ & P \ar[r]_{\beta _2} \ar[d]^{\beta_1}& A_2 \ar[d]^{\alpha_2} \\ & A_1\ar[r]_{\alpha_1} & A  } \)

[geómetracat]

Toda la razón, debería ser \[ X \] en vez de \[ K \].