Hola
Buenos días.
Estaba realizando unos ejercicios y no entiendo muy bien el siguiente:
Dadas las siguientes familias de subconjuntos de [0,1].
\( B_1 = \left\lbrace(a,b) | 0 < a < b < 1\right\rbrace \cup{\left\lbrace[0,1]\right\rbrace} \)
\( B_2 = B_1 \cup{\left\lbrace\left\lbrace0\right\rbrace, \left\lbrace 1 \right\rbrace\right\rbrace} \)
\( B_3 = \left\lbrace(a,b) | 0 \leq{a} < b \leq{1} \right\rbrace \cup{\left\lbrace[0,1]\right\rbrace} \)
\( B_4 = B_3 \cup{\left\lbrace\left\lbrace0\right\rbrace, \left\lbrace1\right\rbrace\right\rbrace} \)
Debo demostrar que son bases de una topología en [0,1], pero no soy capaz de hacerlo porque no veo la diferencia entre las cuatro.
Que no veas diferencia entre las cuatro no debería de tener mucho que ver en principio para probar que son base. Para cada familia tienes que demostrar dos cosas:
1) Que dado cualquier \( x\in [0,1] \) existe un conjunto de la familia que contiene a \( x \).
Esto es inmediato en todas ellas, porque todas contienen al propio intervalo \( [0,1]. \)
2) Que dados \( U,U' \) en la familia y \( x\in U\cap U' \) entonces existe \( V \) en la familia tal que \( x\in V\subset U\cap U' \).
Fíjate que en (2) podemos suponer \( U\neq U' \) ya que en otro caso la propiedad se cumple siempre sin más que tomar \( V=U=U' \).
Por ejemplo para \( B_1 \). Los conjuntos de \( B_1 \) son o el total \( [0,1] \) o intervalos \( (a,b) \) con \( 0<a<b<1 \). Entonces distinguimos dos casos:
- Si \( U=[0,1] \) y \( U'=(a,b) \), entonces \( U\cap U'=(a,b) \) y dado \( x\in U\cap U'=(a,b) \) basta tomar \( V=U'=(a,b)\in B_1 \) para tener \( x\in V\subset U\cap U'. \)
- Si \( U=(a,b), U'=(c,d) \) y \( x\in U\cap U' \) entonces como \( a,c<x \) y \( b,d>x \) se tiene que \( 0<max(a,c)<min(b,d)<1 \) y así \( V=(max(a,c),min(b,d))\in B_1 \) y \( x\in V\subset U\cap U' \).
Puedes hacer lo análogo para el resto. Algunos añadidos:
- La diferencia entre \( B_1 \) y \( B_2 \) es que \( B_2 \) contiene como abiertos básicos además de todos los de \( B_1 \), al \( \{1\} \) y al \( \{0\} \).
- La diferencia entre \( B_1 \) y \( B_3 \) es que esta segunda además de todos los conjuntos de \( B_1 \) incluye también a los de la forma \( (0,b) \) con \( 0<b<\leq 1 \) y \( (a,1) \), con \( 0\leq a<1 \).
- \( B_4 \) añade a los anteriores el \( \{0\} \) y el \( \{1\} \).
(También necesito comparar las topologías generadas por esas bases, pero no sé cómo generar esas topologías a partir de esas bases. ¿Hay algún mecanismo para hacerlo en general o dependiendo de la base, en cada caso se hace de una forma distinta?
Una vez que tienes una base \( B \), ésta define una topología, es decir, determina cuales son los abiertos de la siguiente forma:
- Los abiertos de la topología son uniones arbitrarias de conjuntos de la base \( B \).
- Equivalentemente un conjunto \( V \) es abierto si y sólo si para todo \( x\in B \) existe \( U\in B \) tal que \( x\in U\subset V \).
Es fácil ver teniendo en cuenta esto que dos bases \( B \) y \( B' \) definen en un conjunto la misma topología si todo elemento de \( B \) es abierto con la topología que define \( B' \) y viceversa. Equivalentemente si dado \( U\in B \) y \( x\in U \) existe \( U'\in B' \) tal que \( x\in U'\subset U \) y además recíprocamente, dado \( U'\in B' \) y \( x\in U' \) existe \( U\in B \) tal que \( x\in U\subset U' \).
Entonces podemos ver por ejemplo que \( B_1 \) y \( B_3 \) definen la misma base.
- En primer lugar como \( B_3 \) está formada por los mismos conjuntos que \( B_1 \) y algunos más, está claro que todo conjunto de \( B_1 \) es abierto con la topología definida por la base \( B_3 \).
- Recíprocamente sea \( U'\in B_3 \) y \( x\in U' \):
-- Si \( U'\in B_1 \) entonces basta tomar \( U=U'\in B_1 \) y tenemos que \( x\in U\subset U' \).
-- Si \( U'\not\in B_1 \), necesariamente \( U'=(0,a) \) con \( a\in (0,1] \) ó \( U'=(b,1) \) con \( b\in [0,1) \).
---- Si \( x\in U'=(0,a) \) comprueba que \( U=(x/2,(a+x)/2)\in B_1 \) y \( x\in U\subset U' \).
---- Si \( x\in U'=(b,1) \) comprueba que \( U=((b+x)/2,(1+x)/2)\in B_1 \) y \( x\in U\subset U' \).
También puedes ver que \( B_2 \) y \( B_1 \) definen distintas topologías. El motivo es que \( \{0\} in B_2 \) y dado \( x\in \{0\} \) es imposible encontrar \( U'\in B_1 \) tal que \( x\in U'\subset \{0\}. \) Si así fuese la única posibilidad sería \( U'=\{0\} \) (es el único subconjunto no vacío de \( \{0\} \)) pero \( \{0\}\not\in B_1 \)
En fin, completa los detalles, los otros casos y pregunta las posibles dudas que te surjan.
Saludos.