Autor Tema: Puntos interior, frontera, adherencia...

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01 Abril, 2021, 05:27 pm
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mss

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¡Buenos días!

He estado realizando algunos ejercicios sobre determinar cual es el interior (Int), frontera (Fr), aislados (ais), acumulación (A') y adherencia (Ā). Sobre \( \mathbb{R} \) con la topología usual no tengo ningún problema en verlo, pero sobre la recta de Sorgenfrey y de Kolmogoroff tengo algunos problemas.

Se supone que lo que cambiaría respecto a la usual sería el entorno sobre el que comprobamos el interior, frontera... ¿cierto?

En la de Kolmogoroff (K) los entornos serían de la forma \( (a, +\infty) \) con \( a \in{\mathbb{R}} \) y en la de Sorgenfrey (S) los entornos serían de la forma \( [a, b) \) con \( a, b \in{\mathbb{R}} \), ¿verdad?

Dicho esto, ¿estarían bien los siguientes ejercicios?

1. Si A = \( \mathbb{Z} \):
- En K: \( Int(A) = \emptyset, Fr(A) = \mathbb{Z}, ais(A) = \emptyset, A' = \mathbb{Z}, \bar{A} = \mathbb{Z}   \)
- En S: \( Int(A) = \mathbb{Z}, Fr(A) =\emptyset, ais(A) = \mathbb{Z}, A' = \emptyset, \bar{A} = \mathbb{Z}   \)

2. Si B = (-3, 3]
- En K: \( Int(A) = \left(-3, 3\right], Fr(A) = \left\lbrace-3, 3\right\rbrace, ais(A) = \emptyset, A' = \left[-3, 3\right], \bar{A} = \left[-3, 3\right]   \)
- En S: \( Int(A) = \left[-3, 3\right), Fr(A) = \left\lbrace-3, 3\right\rbrace, ais(A) = \emptyset, A' = \left[-3, 3\right], \bar{A} = \left[-3, 3\right]   \)

3. Si \( C = \left\lbrace 1/n: n \in{\mathbb{N}}\right\rbrace \)
- En K: \(  Int(C) = \emptyset, Fr(C) = C \cup{\left\lbrace0\right\rbrace}, ais(C) = C, C' = \left\lbrace0\right\rbrace, \bar{C} = C \cup{\left\lbrace 0\right\rbrace}   \)
- En S: \(  Int(C) = \emptyset, Fr(C) = C \cup{\left\lbrace0\right\rbrace}, ais(C) = C , C' = \left\lbrace0\right\rbrace, \bar{C} = C \cup{\left\lbrace 0\right\rbrace}   \)

(En este caso no veo muy bien la diferencia)

4. Si \( D = \left(-\infty, 5\right)  \)
Este caso no sé hacerlo con ninguna de las dos, porque entiendo que los intervalos que conforman los distintos contornos van en sentido positivo, a \( +\infty \), entonces no sé llegar a \( -\infty \) así.

Muchísimas gracias con antelación  :)

01 Abril, 2021, 05:41 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

¡Buenos días!

He estado realizando algunos ejercicios sobre determinar cual es el interior (Int), frontera (Fr), aislados (ais), acumulación (A') y adherencia (Ā). Sobre \( \mathbb{R} \) con la topología usual no tengo ningún problema en verlo, pero sobre la recta de Sorgenfrey y de Kolmogoroff tengo algunos problemas.

Se supone que lo que cambiaría respecto a la usual sería el entorno sobre el que comprobamos el interior, frontera... ¿cierto?

En la de Kolmogoroff (K) los entornos serían de la forma \( (a, +\infty) \) con \( a \in{\mathbb{R}} \) y en la de Sorgenfrey (S) los entornos serían de la forma \( [a, b) \) con \( a, b \in{\mathbb{R}} \), ¿verdad?

Dicho esto, ¿estarían bien los siguientes ejercicios?

1. Si A = \( \mathbb{Z} \):
- En K: \( Int(A) = \emptyset, Fr(A) = \mathbb{Z}, ais(A) = \emptyset, A' = \mathbb{Z}, \bar{A} = \mathbb{Z}   \)

 La adherencia de un conjunto es el menor cerrado que lo contiene. Los cerrados son complementarios de abiertos.

 En la topología de Kolmogorov, no sólo es que los entornos sean de la forma \( (a,+\infty) \) sino que eso son precisamente los abiertos (además del vacío y el total). Por tanto los cerrados son sus complementarios: el vacío, el total y los conjuntos de la forma \( (-\infty,a] \).

 Entonces \( \mathbb{Z} \) NO es cerrado y es imposible que su adherencia sea \( \mathbb{Z}. \) De hecho el único cerrado que lo contiene es \( \Bbb R \), luego \( \bar A=\Bbb R \).

 También está mal, por tanto, la frontera que sería la adherencia menos el interior: todo \( \Bbb R \) y también la acumulación.

 Los puntos aislados están bien.

Citar
- En S: \( Int(A) = \mathbb{Z}, Fr(A) =\emptyset, ais(A) = \mathbb{Z}, A' = \emptyset, \bar{A} = \mathbb{Z}   \)

 El interior no es \( \mathbb{Z} \). Fíjate que no hay ningún entorno abierto \( [a,b) \) contenido en \( \mathbb{Z} \). Por tanto el interior es vacío.

 La adherencia está bien. La frontera que es la adherencia menos el interior sería \( \mathbb{Z} \). Aislados y de acumulación está bien,

Citar
2. Si B = (-3, 3]
- En K: \( Int(A) = \left(-3, 3\right], Fr(A) = \left\lbrace-3, 3\right\rbrace, ais(A) = \emptyset, A' = \left[-3, 3\right], \bar{A} = \left[-3, 3\right]   \)

 El interior NO es abierto. No puede estar bien. Recuerda que los abiertos en Kolmogorov son los triviales y los de la forma \( (a,+\infty) \). También está mal la adherencia.

 Mi propuesta antes de seguir: revisa el caso 1 y cuando lo entiendas bien revisa los dos restantes.

Saludos.

Añadido: En general recuerda que el interior, desde luego, tiene que ser abierto con la topología con la que estás trabajando y estar dentro del conjunto. Eso no se cumple en algunos resultados que has puesto.

01 Abril, 2021, 08:10 pm
Respuesta #2

mss

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Hola, ¡¡gracias por responder!!

He estado haciendo el caso de la recta de Kolmogorov y creo que ya he entendido cómo hacerlo.

En el segundo caso, el de:
2. Si B = (-3, 3]

En K: \( Int(B) = \emptyset, \bar{B} = \left(-\infty, 3\right]  Fr(B) = \left(-\infty, 3\right], ais(B) = \emptyset, B' = \left(-\infty, 3\right]  \)

En el tercer caso:
3. Si \( C = \left\lbrace 1/n: n \in{\mathbb{N}}\right\rbrace \)

- En K: \(  Int(C) = \emptyset, Fr(C) =\left(-\infty, 3\right], ais(C) = \emptyset, C' = \left(-\infty, 3\right], \bar{C} =\left(-\infty, 3\right]  \)

A raíz de esto, he tenido una duda acerca de lo que ocurriría si tuviésemos un solo un punto en nuestro conjunto. El interior sería el vacío y la frontera sería \(  \left(-\infty, punto\right] \). En la acumulación estaría otra vez el intervalo \(  \left(-\infty, punto\right] \) y no habría aislados, ¿no?

En cuanto al cuarto caso, si los otros de arriba están bien, lo entiendo perfectamente.

Es el de los números enteros el que sigue sin cuadrarme. El interior en la de Kolmogorov entonces sería vacío, ¿no? ¿Y por qué en la topología de Kolmogorov \( \mathbb{Z} \) no es cerrado, pero en la de Sorgenfrey sí?

Por otro lado, he estado intentando hacer los casos con la de Sorgenfrey y no sé si lo estoy haciendo bien. Por confirmar: los abiertos son de la forma [a, b) y el vacío; y los cerrados son de la forma  \(  \left(-\infty, a\right) \) y \(  \left[b, +\infty\right)  \) y el vacío, ¿no?

Siento tantas preguntas pero me está costando muchísimo entenderlo :( Y gracias una vez más

01 Abril, 2021, 08:36 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

En el segundo caso, el de:
2. Si B = (-3, 3]

En K: \( Int(B) = \emptyset, \bar{B} = \left(-\infty, 3\right]  Fr(B) = \left(-\infty, 3\right], ais(B) = \emptyset, B' = \left(-\infty, 3\right]  \)

Bien.

Citar
En el tercer caso:
3. Si \( C = \left\lbrace 1/n: n \in{\mathbb{N}}\right\rbrace \)

- En K: \(  Int(C) = \emptyset, Fr(C) =\left(-\infty, 3\right], ais(C) = \emptyset, C' = \left(-\infty, 3\right], \bar{C} =\left(-\infty, 3\right]  \)

 Quizá te hayas liado al escribir la respuesta en el foro, mezclando la escritura con el caso anterior. Es:

\( \bar{C}=Fr(C)=(-\infty,\color{red}1\color{black}] \)

 Pero cuidado porque \( 1\in C \) es un punto asilado ya que \( (2/3,+\infty)\cap C=\{1\} \). Por tanto ese punto no es de acumulación. Sería:

\(  C'=(-\infty,1) \)

Citar
A raíz de esto, he tenido una duda acerca de lo que ocurriría si tuviésemos un solo un punto en nuestro conjunto. El interior sería el vacío y la frontera sería \(  \left(-\infty, punto\right] \). En la acumulación estaría otra vez el intervalo \(  \left(-\infty, punto\right] \) y no habría aislados, ¿no?

 Ojo, el punto sería un punto aislado. Eso pasa en cualquier topología: si un conjunto tiene un sólo punto, éste es un punto aislado del mismo ya que todo abierto que lo contiene no corta al conjunto en más puntos...¡porque no tiene más puntos!.

 La adherencia sería \( (-\infty,punto] \) y, ojo, los de acumulación \( (-\infty,punto) \)

Citar
Es el de los números enteros el que sigue sin cuadrarme. El interior en la de Kolmogorov entonces sería vacío, ¿no? ¿Y por qué en la topología de Kolmogorov \( \mathbb{Z} \) no es cerrado, pero en la de Sorgenfrey sí?

 Vaya por delante que no tienes que liarte relacionando el que sea cerrado en una topología y en otra no: son topologías distintas. No obstante, la topología de Kolmogorov es mucho más "gruesa" que la de Sorgenfrey, tienes muchos menos abiertos y por tanto menos cerrados. Por tanto es razonable que haya conjuntos que no son cerrados con la primera pero si con la segunda.

 Ahora que \( \mathbb{Z} \) no es cerrado con la Kolmogorov, ya hemos visto porqué: los cerrados no triviales son de la forma \( (-\infty,a] \).

 Si es cerrado en Sorgenfrey porque su complementario es abierto. Dado \( x\not\in \Bbb Z \) si llamas \( [x ] \) a la parte entera de \( x \) puedes tomar un entorno de Sorgenfrey \( [a,b) \) tal que \( x\in [a,b)\subset \Bbb R-\Bbb Z \). Basta tomar, por ejemplo a el punto medio entre \( x \) y su parte entera, \( a=([x ]+x)/2 \) y \( b=[x]+1 \).

 También te puede ser cómodo a la hora de manejar la topología de Sorgenfrey tener en cuenta que es más fina que la usual; es decir la topología de Sorgenfrey tiene todos los conjuntos abiertos y cerrados de la usual y algunos más. El motivo es que cualquier abierto usual es unión de abiertos de Sorgenfrey:

\( (a,b)=\displaystyle\bigcup_{n\geq 2} \left[a+\frac{b-a}{n},b\right) \)

Citar
Por otro lado, he estado intentando hacer los casos con la de Sorgenfrey y no sé si lo estoy haciendo bien. Por confirmar: los abiertos son de la forma [a, b) y el vacío; y los cerrados son de la forma  \(  \left(-\infty, a\right) \) y \(  \left[b, +\infty\right)  \) y el vacío, ¿no?

No. Ojo, los conjuntos \( [a,b) \) son una base de la topología de Sorgenfrey; pero hay muchos más abiertos. Cualquiera que puede ponerse como unión de elementos de esa base.

Por ejemplo \( [1,2)\cup [4,6) \) es abierto.

Y más arriba te acabo de indicar que cualquier intervalo abierto usual \( (a,b) \) es abierto con la topología de Sorgenfrey.

Entonces no es tan directa de describir cuáles son TODOS los abiertos de esta topología; pero si tenemos una forma efectiva de saber si un conjunto \( U \) es abierto. Lo es si para todo \( x\in U \) existe un entorno \( [a,b) \) tal que \( x\in [a,b)\subset U \).

La diferencia con el caso de la topología de Kolmogorov, es que allí en principio, los conjuntos de la forma \( (a,+\infty) \) también eran una base de la topología. Los abiertos serán cualquier unión de ellos. ¡Pero la cosa es que ahora cualquier unión de conjuntos de la forma \( (a,+\infty) \) es o todo \( \Bbb R \) u otro conjunto de la forma \( (a,+\infty) \). En concreto puedes ver que:

\( \displaystyle\bigcup_{i\in I}(a_i,+\infty)=(a,\infty) \) donde \( a=\inf_{i\in I}\{a_i\} \)

Por eso para la topología de Kolmogorov, los conjuntos de la forma \( (a,+\infty) \) no sólo son los abiertos básicos sino que son todos los abiertos posibles (además del vacío y el total).

Citar
Siento tantas preguntas pero me está costando muchísimo entenderlo :( Y gracias una vez más

Pregunta cuanto sea necesario para que entiendas bien todo.

Saludos.

04 Abril, 2021, 11:38 am
Respuesta #4

mss

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¡¡Muchísimas gracias por todo!! Creo que respecto a la topología de Kolmogorov está todo claro. Y sí, había hecho corta y pega del apartado anterior y no me di cuenta de cambiarlo.

He estado haciendo dos ejercicios del de la Sorgenfrey y creo que mas o menos la he entendido.
Creo que el siguiente caso es correcto:
3. Si \( C = \left\lbrace 1/n: n \in{\mathbb{N}}\right\rbrace \)

El interior sería vacío. En cuanto a la adherencia, sería todo B y el 0 porque en un intervalo de la forma [a, b) al que pertenezca el 0, siempre vamos a encontrar un punto cercano que haga que \( C \cap{\left[a, b\right)} \neq \emptyset \). De ese modo, la frontera también sería [a,b) y el 0. En cuanto a los puntos, diría que son todos de acumulación excepto el 1, porque si tomo un intervalo [2/3, 2), por ejemplo, si quito dicho punto obtendría el vacío, siendo el {1} entonces el único punto aislado.

Si en vez de ese conjunto tuviésemos este:
\( A = \left\lbrace -1/n: n \in{\mathbb{N}}\right\rbrace \)
El interior también sería vacío como antes, y en la frontera ahora sería todo A, sin tener en cuenta el 0, porque un intervalo [0, 1), por ejemplo, al intersecarse con A, nos da el vacío, ya que el 0 no pertenece a nuestro conjunto. De este modo la adherencia sería A, resultado de unir interior y frontera. En cuanto a la acumulación, todos los puntos de A lo serían, quedando ninguno como aislado. ¿Es cierto esto?

Muchísimas gracias una vez más por toda la ayuda que me está brindando  :D

04 Abril, 2021, 07:12 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

3. Si \( C = \left\lbrace 1/n: n \in{\mathbb{N}}\right\rbrace \)

El interior sería vacío. En cuanto a la adherencia, sería todo B y el 0 porque en un intervalo de la forma [a, b) al que pertenezca el 0, siempre vamos a encontrar un punto cercano que haga que \( C \cap{\left[a, b\right)} \neq \emptyset \).

Supongo que quieres decir que sería todo \( C \) (y no \( B \)) y además el cero. En ese caso estaría bien.

Citar
De ese modo, la frontera también sería [a,b) y el 0.

De nuevo supongo que quieres decir \( C \) y el \( 0 \).

Citar
En cuanto a los puntos, diría que son todos de acumulación excepto el 1, porque si tomo un intervalo [2/3, 2), por ejemplo, si quito dicho punto obtendría el vacío, siendo el {1} entonces el único punto aislado.

Todos los puntos del conjunto son aislados. Dado \( 1/n \) con \( n>1 \) puedes tomar \( [1/n,1/(n-1)) \) que sólo corta a \( C \) en el propio \( \{1/n\} \). Para el \( 1 \) puedes tomar \( [1,2) \) y también es aislado.

El único punto de acumulación es el cero.

Citar
Si en vez de ese conjunto tuviésemos este:
\( A = \left\lbrace -1/n: n \in{\mathbb{N}}\right\rbrace \)
El interior también sería vacío como antes, y en la frontera ahora sería todo A, sin tener en cuenta el 0, porque un intervalo [0, 1), por ejemplo, al intersecarse con A, nos da el vacío, ya que el 0 no pertenece a nuestro conjunto. De este modo la adherencia sería A, resultado de unir interior y frontera.

Bien.

Citar
En cuanto a la acumulación, todos los puntos de A lo serían, quedando ninguno como aislado. ¿Es cierto esto?

No; serían todos aislados. Cada uno de ellos puedes meterlo (a él solo) en un entorno \( [-1/n,-1/(n+1)) \).

Saludos.

09 Abril, 2021, 06:01 pm
Respuesta #6

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Ya veo, ¡¡muchísimas gracias!! Han sido fallos del corta y pega. Pero ya está todo mucho más claro, ¡¡gracias!!