Autor Tema: Demostrar que es base de una topología y comparar topologías

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30 Marzo, 2021, 02:13 pm
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mss

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Buenos días.

Estaba realizando unos ejercicios y no entiendo muy bien el siguiente:

Dadas las siguientes familias de subconjuntos de [0,1].

\( B_1 = \left\lbrace(a,b) | 0 < a < b < 1\right\rbrace \cup{\left\lbrace[0,1]\right\rbrace} \)
\( B_2 = B_1 \cup{\left\lbrace\left\lbrace0\right\rbrace, \left\lbrace 1 \right\rbrace\right\rbrace} \)
\( B_3 = \left\lbrace(a,b) | 0 \leq{a} < b \leq{1} \right\rbrace \cup{\left\lbrace[0,1]\right\rbrace} \)
\( B_4 = B_3 \cup{\left\lbrace\left\lbrace0\right\rbrace, \left\lbrace1\right\rbrace\right\rbrace} \)

Debo demostrar que son bases de una topología en [0,1], pero no soy capaz de hacerlo porque no veo la diferencia entre las cuatro.
También necesito comparar las topologías generadas por esas bases, pero no sé cómo generar esas topologías a partir de esas bases. ¿Hay algún mecanismo para hacerlo en general o dependiendo de la base, en cada caso se hace de una forma distinta?

Muchísimas gracias con antelación.

30 Marzo, 2021, 03:49 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenos días.

Estaba realizando unos ejercicios y no entiendo muy bien el siguiente:

Dadas las siguientes familias de subconjuntos de [0,1].

\( B_1 = \left\lbrace(a,b) | 0 < a < b < 1\right\rbrace \cup{\left\lbrace[0,1]\right\rbrace} \)
\( B_2 = B_1 \cup{\left\lbrace\left\lbrace0\right\rbrace, \left\lbrace 1 \right\rbrace\right\rbrace} \)
\( B_3 = \left\lbrace(a,b) | 0 \leq{a} < b \leq{1} \right\rbrace \cup{\left\lbrace[0,1]\right\rbrace} \)
\( B_4 = B_3 \cup{\left\lbrace\left\lbrace0\right\rbrace, \left\lbrace1\right\rbrace\right\rbrace} \)

Debo demostrar que son bases de una topología en [0,1], pero no soy capaz de hacerlo porque no veo la diferencia entre las cuatro.

Que no veas diferencia entre las cuatro no debería de tener mucho que ver en principio para probar que son base. Para cada familia tienes que demostrar dos cosas:

1) Que dado cualquier \( x\in [0,1] \) existe un conjunto de la familia que contiene a \( x \).

Esto es inmediato en todas ellas, porque todas contienen al propio intervalo \( [0,1]. \)

2) Que dados \( U,U' \) en la familia y \( x\in U\cap U' \) entonces existe \( V \) en la familia tal que \( x\in V\subset U\cap U' \).

Fíjate que en (2) podemos suponer \( U\neq U' \) ya que en otro caso la propiedad se cumple siempre sin más que tomar \( V=U=U' \).

Por ejemplo para \( B_1 \). Los conjuntos de \( B_1 \) son o el total \( [0,1] \) o intervalos \( (a,b) \) con \( 0<a<b<1 \). Entonces distinguimos dos casos:

- Si \( U=[0,1] \) y \( U'=(a,b) \), entonces \( U\cap U'=(a,b) \) y dado \( x\in U\cap U'=(a,b) \) basta tomar \( V=U'=(a,b)\in B_1 \) para tener \( x\in V\subset U\cap U'. \)

- Si \( U=(a,b), U'=(c,d) \) y \( x\in U\cap U' \) entonces como \( a,c<x \) y \( b,d>x \) se tiene que \( 0<max(a,c)<min(b,d)<1 \) y así \( V=(max(a,c),min(b,d))\in B_1 \) y \( x\in V\subset U\cap U' \).

Puedes hacer lo análogo para el resto. Algunos añadidos:

- La diferencia entre \( B_1 \) y \( B_2 \) es que \( B_2 \) contiene como abiertos básicos además de todos los de \( B_1 \), al \( \{1\} \) y al \( \{0\} \).

- La diferencia entre \( B_1 \) y \( B_3 \) es que esta segunda además de todos los conjuntos de \( B_1 \) incluye también a los de la forma \( (0,b) \) con \( 0<b<\leq 1 \) y \( (a,1) \), con \( 0\leq a<1 \).

- \( B_4 \) añade a los anteriores el \( \{0\} \) y el \( \{1\} \).

Citar
(También necesito comparar las topologías generadas por esas bases, pero no sé cómo generar esas topologías a partir de esas bases. ¿Hay algún mecanismo para hacerlo en general o dependiendo de la base, en cada caso se hace de una forma distinta?

 Una vez que tienes una base \( B \), ésta define una topología, es decir, determina cuales son los abiertos de la siguiente forma:

- Los abiertos de la topología son uniones arbitrarias de conjuntos de la base \( B \).
- Equivalentemente un conjunto \( V \) es abierto si y sólo si para todo \( x\in B \) existe \( U\in B \) tal que \( x\in U\subset V \).

 Es fácil ver teniendo en cuenta esto que dos bases \( B \) y \( B' \) definen en un conjunto la misma topología si todo elemento de \( B \) es abierto con la topología que define \( B' \) y viceversa. Equivalentemente si dado \( U\in B \) y \( x\in U \) existe \( U'\in B' \) tal que \( x\in U'\subset U \) y además recíprocamente, dado \( U'\in B' \) y \( x\in U' \) existe \( U\in B \) tal que \( x\in U\subset U' \).

 Entonces podemos ver por ejemplo que \( B_1 \) y \( B_3 \) definen la misma base.

- En primer lugar como \( B_3 \) está formada por los mismos conjuntos que \( B_1 \) y algunos más, está claro que todo conjunto de \( B_1 \) es abierto con la topología definida por la base \( B_3 \).
- Recíprocamente sea \( U'\in B_3 \) y \( x\in U' \):

 -- Si \( U'\in B_1 \) entonces basta tomar \( U=U'\in B_1 \) y tenemos que \( x\in U\subset U' \).
 -- Si \( U'\not\in B_1 \), necesariamente \( U'=(0,a) \) con \( a\in (0,1] \) ó \( U'=(b,1) \) con \( b\in [0,1) \).
 ---- Si \( x\in U'=(0,a) \) comprueba que \( U=(x/2,(a+x)/2)\in B_1  \) y \( x\in U\subset U' \).
 ---- Si \( x\in U'=(b,1) \) comprueba que \( U=((b+x)/2,(1+x)/2)\in B_1  \) y \( x\in U\subset U' \).

 También puedes ver que \( B_2 \) y \( B_1 \) definen distintas topologías. El motivo es que \( \{0\} in B_2 \) y dado \( x\in \{0\} \) es imposible encontrar \( U'\in B_1 \) tal que \( x\in U'\subset \{0\}. \) Si así fuese la única posibilidad sería \( U'=\{0\} \) (es el único subconjunto no vacío de \( \{0\} \)) pero \( \{0\}\not\in B_1 \)
 
 En fin, completa los detalles, los otros casos y pregunta las posibles dudas que te surjan.

Saludos.

31 Marzo, 2021, 01:40 pm
Respuesta #2

mss

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¡¡Muchísimas gracias!! Me ha quedado todo muchísimo más claro.

Aún así, al hacer los otros casos me he topado con un par de dudas.

1. He intentado demostrar que \( B_2 \) es base de la topología, y ha llegado un momento en el que lo he hecho no sé si es correcto:
Primero he probado con U = [0,1], U' = (a,b) y con U = (a,b), U' = (c,d). Hasta ahí no he tenido ningún problema (ya que es análogo a \( B_1 \)). Después lo he hecho con U = [0, 1] y U' = {0}, y he obtenido que la intersección es {0}, de modo que V = {0} y se tendría que \( x \in{V} \subset{U\cap{U'}} \), ¿cierto? Con U' = {1} sería análogo entonces.
Pero es justo en los siguientes casos en los que me encuentro con que la intersección es vacía:
- Si U = (a,b) y U' = {0} (o a {1}, en ambos casos ocurre)
- Si U = {0} y U' = {1}

¿Qué se haría en esos casos?

2. En cuanto a la parte de comparar las topologías, no entiendo por qué hay que hacer lo siguiente:
---- Si \( x\in U'=(0,a) \) comprueba que \( U=(x/2,(a+x)/2)\in B_1  \) y \( x\in U\subset U' \).
 ---- Si \( x\in U'=(b,1) \) comprueba que \( U=((b+x)/2,(1+x)/2)\in B_1  \) y \( x\in U\subset U' \).

Muchísimas gracias una vez más, me gusta la forma en la que explica  :)

31 Marzo, 2021, 02:10 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

1. He intentado demostrar que \( B_2 \) es base de la topología,

No de "la" topología, sino de "una" topología. Digo esto porque lo que estamos intentando hacer ahí es en el conjunto \( [0,1] \) despojado de topología alguna demostrar que la familia \( B_2 \) define una topología en él, actuando como base.

Hago este matiz, porque te encontrarás en otros casos en los que ya tienes una topología en un conjunto \( X \) y querrás demostrar que una determinada familia de conjuntos es base de ESA topología (de la topología que ya había previamente, no definimos una nueva).

Citar
y ha llegado un momento en el que lo he hecho no sé si es correcto:
Primero he probado con U = [0,1], U' = (a,b) y con U = (a,b), U' = (c,d). Hasta ahí no he tenido ningún problema (ya que es análogo a \( B_1 \)). Después lo he hecho con U = [0, 1] y U' = {0}, y he obtenido que la intersección es {0}, de modo que V = {0} y se tendría que \( x \in{V} \subset{U\cap{U'}} \), ¿cierto? Con U' = {1} sería análogo entonces.

Bien.

Citar
Pero es justo en los siguientes casos en los que me encuentro con que la intersección es vacía:
- Si U = (a,b) y U' = {0} (o a {1}, en ambos casos ocurre)
- Si U = {0} y U' = {1}

¿Qué se haría en esos casos?

Nada. Si uno quiere comprobar esta propiedad:

Citar
2) Que dados \( U,U' \) en la familia y \( x\in U\cap U' \) entonces existe \( V \) en la familia tal que \( x\in V\subset U\cap U' \).

Si no hay ningún \( x \) en \( U\cap U' \) no hay nada que comprobar.

Citar
2. En cuanto a la parte de comparar las topologías, no entiendo por qué hay que hacer lo siguiente:
---- Si \( x\in U'=(0,a) \) comprueba que \( U=(x/2,(a+x)/2)\in B_1  \) y \( x\in U\subset U' \).
 ---- Si \( x\in U'=(b,1) \) comprueba que \( U=((b+x)/2,(1+x)/2)\in B_1  \) y \( x\in U\subset U' \).

Estamos comprobando que para cualquier abierto básico \( U' \) de \( B_2 \) y cualquier punto \( x\in U' \) existe un abierto \( U \) de \( B_1 \) tal que \( x\in U\subset U' \).

He distinguido varios casos según el tipo de abierto básico. Si el abierto es del tipo \( U'=(0,a) \) no puedo tomar \( U=U' \) porque los conjuntos de la forma \( (0,a) \) no pertenecen a \( B_1 \).

Entonces tengo que encontrar un abierto que SI esté en \( B_1 \), que es de la forma \( (c,d) \) con \( c,d\in (0,1) \), que cumpla:

\( x\in (c,d)\in (0,a)=U' \)

No hay una única forma ni mucho menos de escoger \( c \) y \( d \). Pero como sé que \( x\in (0,a) \), tomo como \( c \) el punto medio entre el \( 0 \) y \( x \), es decir, \( (0+x)/2=x/2 \). Y como \( d \) el punto medio entre \( x \) y \( a \), es decir, \( (x+a)/2 \).

El otro caso es análogo.

Saludos.

01 Abril, 2021, 10:57 am
Respuesta #4

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