Autor Tema: Requisitos básicos de análisis vectorial para geometría diferencial

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

30 Marzo, 2021, 08:43 am
Leído 85 veces

Juan Pablo Cardona Buitra

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 11
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Un saludo.

Para preguntar, según sus experiencias, ¿cuáles creerían que deberían ser los conceptos, definiciones y resultados fundamentales que se deberían estudiar de forma cuidadosa y atenta en lo referente al análisis vectorial, para un curso en geometría diferencial (agradecería que fueran lo más explícitos posible en sus sugerencias, y de ser posible, dar la lista más completa que puedan)? Lo que pasa es que este semestre estoy tomando un curso de geometría diferencial introductorio, pero que no se centrará en la teoría de curvas y superficies de \( \mathbb{R}^n \), sino en variedades diferenciables generalizadas a espacios topológicos, y a pesar que ya tome un curso en cálculo y análisis vectorial, lo hice hace bastante tiempo, y si bien hasta el momento no he tenido ningún tipo de problema o inconveniente, me gustaría darle un repaso a lo que me sugieran.

Muchas gracias.

30 Marzo, 2021, 09:05 am
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,597
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Un saludo.

Para preguntar, según sus experiencias, ¿cuáles creerían que deberían ser los conceptos, definiciones y resultados fundamentales que se deberían estudiar de forma cuidadosa y atenta en lo referente al análisis vectorial, para un curso en geometría diferencial (agradecería que fueran lo más explícitos posible en sus sugerencias, y de ser posible, dar la lista más completa que puedan)? Lo que pasa es que este semestre estoy tomando un curso de geometría diferencial introductorio, pero que no se centrará en la teoría de curvas y superficies de \( \mathbb{R}^n \), sino en variedades diferenciables generalizadas a espacios topológicos, y a pesar que ya tome un curso en cálculo y análisis vectorial, lo hice hace bastante tiempo, y si bien hasta el momento no he tenido ningún tipo de problema o inconveniente, me gustaría darle un repaso a lo que me sugieran.

Muchas gracias.

De lo que yo he leído de geometría diferencial lo que necesitas fundamentalmente es la noción de derivada parcial de una función vectorial. Luego diría que un teorema fundamental de la geometría diferencial es el teorema de la función implícita, que es equivalente al teorema de la función inversa (es decir: uno se puede demostrar a partir del otro y viceversa).

La geometría diferencial es prácticamente una aplicación de este teorema junto con algunos teoremas y definiciones de topología que caracterizan lo que es una variedad topológica y cómo producir nuevas variedades a partir de otras, pero eso ya son teoremas propios del área de variedades topológicas y/o diferenciables

Ahora mismo no se me ocurre nada más.

30 Marzo, 2021, 09:35 am
Respuesta #2

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,343
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Para geometría diferencial de variedades yo diría que lo más importante es tener bien claros los conceptos de álgebra lineal (espacios vectoriales, aplicaciones lineales, espacio vectorial dual, productos escalares, etc.) y el cálculo diferencial en varias variables, básicamente derivadas parciales, matrices jacobianas y regla de la cadena en forma matricial. Imprescindible conocer y saber usar los teoremas de la función inversa y de la función implícita, como dice Masacroso (no es necesario saberse la demostración, con el enunciado te vale).

Lo que no es necesario es que te pongas a repasar rotacionales y divergencias, pues se definen de manera ligeramente distinta y son menos importantes y usados en geometría de variedades que en un curso típico de cálculo vectorial.

Sobre integración: hay que saber qué son y cómo se calculan las integrales múltiples. También es muy importante conocer el teorema de cambio de variable para integrales múltiples. Pero no hay que obsesionarse mucho con integrales de línea o superfície, ni con los teoremas típicos de Stokes o de Gauss. En variedades se da una generalización de todo eso usando el lenguaje de las formas diferenciales que es conceptualmente más claro (al menos para mí) que lo que se hace en un curso típico de cálculo vectorial.

Otra cosa básica de análisis (aunque no de cálculo vectorial) que se usa mucho en variedades son los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, así como la dependencia suave de las condiciones inciales.

Luego ya depende de en qué se centre el curso puede que necesites más cosas. Pero lo básico es eso. De hecho, incluso es posible que no necesites todo lo que te he dicho (por ejemplo, puede que no veáis nada de integración en variedades ni de formas diferenciales).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)