Autor Tema: Probar que es una topología

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29 Marzo, 2021, 04:19 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dudas con este ejercicio
En el plano \( {\mathbb{R}}^2 \) consideremos la familia \( \tau  \) que consiste en el conjunto vacío \( \emptyset , {\mathbb{R}}^2 \) y todos o los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \). Pruebe que \( \tau  \) define una topología y determine
la clausura de la hiperbola\(  xy = 1 \)

Para la primera parte tengo que probar los axiomas:
A1: \( \emptyset \) and \( {\mathbb{R}}^2 \) están en \( \tau \).
A2: La unión arbitraria de elementos en la topología esta en la topología
A3: La intersección finita de elementos de la topología esta en la topología

\( A1 \) Por definición \( \emptyset \) y \( {\mathbb{R}}^2 \) estan en \( \tau \).

\( A2 \) \( {\mathbb{R}}^2 \cup  \) Todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0  \) resulta \( {\mathbb{R}}^2 \) por lo cual \( {\mathbb{R}}^2 \in \tau \)


\( A3  \) \( {\mathbb{R}}^2 \cap  \) todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) resulta \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) por lo cual \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \in \tau \)

Tengo muchas dudas con mi demostración de los axiomas 2 y 3 pues la unión debe ser arbitraria y no se muy bien como hacerlo

Saludos

29 Marzo, 2021, 06:38 pm
Respuesta #1

alexpglez

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Hola, si no he entendido mal, ¿la topología está formada por los discos abiertos centrados en el origen? (junto con el vacío y el total)
El primer axioma es trivialmente cierto por lo que mencionas.
A2: La unión arbitraria de elementos en la topología esta en la topología
Aquí debes comprobar que la unión de los discos abiertos centrados en el origen es un disco abierto centrado en el origen.
$$ \bigcup_{i\in I} D(0,r_i)=D(0,r) \; \text{o} \; \emptyset \; \text{o} \; \mathbb R^2 $$
Estaría bien que lo dibujaras, si unes dos discos de radio \(  r_1  \) y \(  r_2  \), digamos que \(  r_1\leq r_2  \), entonces \(  r=r_2=\text{max}(r_1,r_2)  \). Así intuitivamente \(  r=\sup_{i\in I} r_i  \) (en caso de ser \(  r<+\infty  \)), y es el total si este número es infinito (o incluso el vacío si la unión es vacía). No es complicado hacer una demostración formal de ésto (dejo que lo intentes).

Para el axioma 3 es más sencillo, pues la intersección es finita. Si intersecamos dos circulos centrados de radios \(  r_1\leq r_2  \), entonces el radio de la intersección es \(  r=r_1  \) y en general siempre será el menor radio. En caso de hacer intersecciones infinitas, puede que la intersección sea sólo el centro y no sea ningún círculo.

La clausura de un conjunto es el cerrado más pequeño que lo contiene. Los conjuntos cerrados de la topología son los complementarios de bolas abiertas \(  \mathbb R^2 \setminus B(0,r)  \), junto con el total y el vacío. ¿Cuál es el cerrado más pequeño que contiene a la hipérbola?
Otro modo equivalente de verlo es que los puntos de la clausura son los puntos tal que todo entorno abierto del punto corta al conjunto y por este razonamiento obtienes el mismo resultado.

Paso a comentar dos errores tuyos:

\( A2 \) \( {\mathbb{R}}^2 \cup  \) Todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0  \) resulta \( {\mathbb{R}}^2 \) por lo cual \( {\mathbb{R}}^2 \in \tau \)
Es cierto que la unión de todos los discos abiertos de es el total, pero el axioma pide que la unión arbitraria de abiertos sea un abierto.

\( A3  \) \( {\mathbb{R}}^2 \cap  \) todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) resulta \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) por lo cual \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \in \tau \)
Y aquí igual. Es cierto que la intersección de todos los discos es el centro, pero el axioma pide que cualquier intersección finita de abiertos sea un abierto.

Espero haberte ayudado. Por favor, pide aclaraciones si algo no está bien explicado, entiendo que al principio la topología parece muy liosa, por eso es bueno acompañarse de dibujos.

29 Marzo, 2021, 07:17 pm
Respuesta #2

cristianoceli

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Hola, si no he entendido mal, ¿la topología está formada por los discos abiertos centrados en el origen? (junto con el vacío y el total)
El primer axioma es trivialmente cierto por lo que mencionas.
A2: La unión arbitraria de elementos en la topología esta en la topología
Aquí debes comprobar que la unión de los discos abiertos centrados en el origen es un disco abierto centrado en el origen.
$$ \bigcup_{i\in I} D(0,r_i)=D(0,r) \; \text{o} \; \emptyset \; \text{o} \; \mathbb R^2 $$
Estaría bien que lo dibujaras, si unes dos discos de radio \(  r_1  \) y \(  r_2  \), digamos que \(  r_1\leq r_2  \), entonces \(  r=r_2=\text{max}(r_1,r_2)  \). Así intuitivamente \(  r=\sup_{i\in I} r_i  \) (en caso de ser \(  r<+\infty  \)), y es el total si este número es infinito (o incluso el vacío si la unión es vacía). No es complicado hacer una demostración formal de ésto (dejo que lo intentes).

Para el axioma 3 es más sencillo, pues la intersección es finita. Si intersecamos dos circulos centrados de radios \(  r_1\leq r_2  \), entonces el radio de la intersección es \(  r=r_1  \) y en general siempre será el menor radio. En caso de hacer intersecciones infinitas, puede que la intersección sea sólo el centro y no sea ningún círculo.

La clausura de un conjunto es el cerrado más pequeño que lo contiene. Los conjuntos cerrados de la topología son los complementarios de bolas abiertas \(  \mathbb R^2 \setminus B(0,r)  \), junto con el total y el vacío. ¿Cuál es el cerrado más pequeño que contiene a la hipérbola?
Otro modo equivalente de verlo es que los puntos de la clausura son los puntos tal que todo entorno abierto del punto corta al conjunto y por este razonamiento obtienes el mismo resultado.

Paso a comentar dos errores tuyos:

\( A2 \) \( {\mathbb{R}}^2 \cup  \) Todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0  \) resulta \( {\mathbb{R}}^2 \) por lo cual \( {\mathbb{R}}^2 \in \tau \)
Es cierto que la unión de todos los discos abiertos de es el total, pero el axioma pide que la unión arbitraria de abiertos sea un abierto.

\( A3  \) \( {\mathbb{R}}^2 \cap  \) todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) resulta \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) por lo cual \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \in \tau \)
Y aquí igual. Es cierto que la intersección de todos los discos es el centro, pero el axioma pide que cualquier intersección finita de abiertos sea un abierto.

Espero haberte ayudado. Por favor, pide aclaraciones si algo no está bien explicado, entiendo que al principio la topología parece muy liosa, por eso es bueno acompañarse de dibujos.

Hola gracias por las aclaraciones pero me siguen quedando dudas. Al hablar de unión arbitraria ¿hablamos de uniones infinitas?

Lo otro a la pregunta que me planteas del cerrado ams pequeño que contiene la hiperbola entiendo que es \( \{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2\geqslant2\} \) pero no comprendo el por que es el mas pequeño.


Saludos

29 Marzo, 2021, 07:40 pm
Respuesta #3

alexpglez

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Hola gracias por las aclaraciones pero me siguen quedando dudas. Al hablar de unión arbitraria ¿hablamos de uniones infinitas?
No, las uniones arbitrarias son arbitrarias. Puedes unir 2 conjuntos, 3, 7, "0 conjuntos" (por definición esto es el vacío), un conjunto finito, infinito, numerable o no numerable.
En nuestro caso. Tenemos que unir varios \(  U_i  \) con \(  i\in I  \) un conjunto de índices, vacío, finito, numerable o no. He supuesto que \(  I\not=\emptyset  \) y que todo \(  U_i=D(0,r_i)  \) es un disco abierto, pues trivialmente \(  U_i=\emptyset  \) no añade elementos y si \(  U_i=\mathbb R^2  \) para un cierto índice, la unión es todo \(  \mathbb R^2  \) y son casos triviales. 

Lo otro a la pregunta que me planteas del cerrado ams pequeño que contiene la hiperbola entiendo que es \( \{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2\geqslant2\} \) pero no comprendo el por que es el mas pequeño.
Los puntos más cercanos al origen son \(  (x,y)=(1,1), \; (-1,-1)  \), por tanto el cierre es \( \{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2\geqslant 2\} \). Es el cerrado más pequeño porque por definición los conjuntos cerrados son los complementarios de los abiertos: en nuestro caso son \(  \emptyset  \), \(  \mathbb R^2  \) y \(  \mathbb R^2 \setminus D(0,r)  \).