Autor Tema: Hallar la medida de BC

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29 Marzo, 2021, 03:20 am
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Julio_fmat

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En la figura, \( m\angle ABC=30 \) y \( m\angle ACB=15. \) Si \( AB=5 \), entonces \( BC=? \)



A) \( 10 \)

B) \( 5+5\sqrt{3} \)

C) \( 5+10\sqrt{3} \)

D) \( 10+5\sqrt{3} \)

E) \( 10\sqrt{3} \)


Hola, tengo este ejercicio. La verdad es que no sé si se resuelve con trigonometría o semejanza... Me tiene pillo.

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

29 Marzo, 2021, 03:46 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Julio_fmat. Con tantos mensajes ya debieras saber cómo hacer visibles las imágenes. Esta vez la puse visible yo, al igual que en tus últimos mensajes.

Me imagino que estás resolviendo el problema para alguien más, así que cómo resolverlo dependerá de las herramientas que tenga esa persona. La primera forma que veo es usar teorema del seno, pero además tendrá que saber cómo hallar funciones trigonométricas de ángulos medios.

29 Marzo, 2021, 06:37 am
Respuesta #2

Pie

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También puedes partir el triángulo en dos triángulos rectángulos y aplicar Pitágoras.

Llamando \( c_1 \) al cateto opuesto a los ángulos que te dan, y \( c_2 \) y \( c_3 \) a los catetos contiguos (que deben sumar \( BC \)):

\( sin(30) = \displaystyle\frac{c_1}{5} \)

\( c_1 = 5\cdot{}sin(30) = \displaystyle\frac{5}{2} \)

Aplicando Pitágoras:

\( (c_1)^2 + (c_2)^2 = 5^2 \)

\( \displaystyle\frac{25}{4} + (c_2)^2 = 25 \)

\( (c_2)^2 = 25 - \displaystyle\frac{25}{4} = \displaystyle\frac{75}{4} \)

\( c_2 =  \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{75}}{2}  = \displaystyle\frac{5}{2} \sqrt[ ]{3} \)

Ahora llamando \( h \) a la hipotenusa del otro triángulo (el lado \( AC \)):

\( sin(15) = \displaystyle\frac{c_1}{h} \)

\( sin(15) * h =\displaystyle\frac{5}{2} \)

\( h = \displaystyle\frac{5}{2\cdot{}sin(15)} = \displaystyle\frac{5 + 5\sqrt[ ]{3}}{\sqrt[ ]{2}} \)

Aplicando Pitágoras otra vez:

\( h^2 = (c_1)^2 + (c_3)^2 \)

\(  \displaystyle\frac{(5 + 5\sqrt[ ]{3})^2}{2} = \displaystyle\frac{25}{4} + (c_3)^2 \)

\( c_3 = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{(5 + 5\sqrt[ ]{3})^2}{2} - \displaystyle\frac{25}{4}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2 + \sqrt[ ]{3}) \)

Sumando los catetos:

\( BC = c_2 + c_3 = \displaystyle\frac{5}{2}\sqrt[ ]{3} +  \displaystyle\frac{5}{2}(2 + \sqrt[ ]{3}) = 5 + 5\sqrt[ ]{3} \)

PD. Espero que esté todo bien, no repasé demasiado las cuentas pero como coincide con una de las respuestas supongo que estará bien. :laugh:

PD2. Con el teorema del seno sale bastante más rápido (no caí en que el ángulo que falta sale solo ya que conocemos los otros dos  :laugh:), así que mejor no hagas mucho caso a lo que dije, ya que es innecesariamente enrevesado XD

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

29 Marzo, 2021, 08:24 am
Respuesta #3

feriva

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Hola, tengo este ejercicio. La verdad es que no sé si se resuelve con trigonometría o semejanza... Me tiene pillo.



Ahí no tienes más que un triángulo, no puedes usar semejanza.

Puedes hacerlo de cualquiera de las maneras, como te ha dicho Pie o mathtruco.

De esta segunda manera (por el teorema del seno) tienes:

(En primer lugar sabes que el ángulo de arriba es \( \gamma=180-30-15=135
  \)).

Entonces \( \dfrac{BC}{sen(135)}=\dfrac{5}{sen(15)}
  \).

Saludos.

29 Marzo, 2021, 10:13 pm
Respuesta #4

Julio_fmat

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También puedes partir el triángulo en dos triángulos rectángulos y aplicar Pitágoras.

Llamando \( c_1 \) al cateto opuesto a los ángulos que te dan, y \( c_2 \) y \( c_3 \) a los catetos contiguos (que deben sumar \( BC \)):

\( sin(30) = \displaystyle\frac{c_1}{5} \)

\( c_1 = 5\cdot{}sin(30) = \displaystyle\frac{5}{2} \)

Aplicando Pitágoras:

\( (c_1)^2 + (c_2)^2 = 5^2 \)

\( \displaystyle\frac{25}{4} + (c_2)^2 = 25 \)

\( (c_2)^2 = 25 - \displaystyle\frac{25}{4} = \displaystyle\frac{75}{4} \)

\( c_2 =  \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{75}}{2}  = \displaystyle\frac{5}{2} \sqrt[ ]{3} \)

Ahora llamando \( h \) a la hipotenusa del otro triángulo (el lado \( AC \)):

\( sin(15) = \displaystyle\frac{c_1}{h} \)

\( sin(15) * h =\displaystyle\frac{5}{2} \)

\( h = \displaystyle\frac{5}{2\cdot{}sin(15)} = \displaystyle\frac{5 + 5\sqrt[ ]{3}}{\sqrt[ ]{2}} \)

Aplicando Pitágoras otra vez:

\( h^2 = (c_1)^2 + (c_3)^2 \)

\(  \displaystyle\frac{(5 + 5\sqrt[ ]{3})^2}{2} = \displaystyle\frac{25}{4} + (c_3)^2 \)

\( c_3 = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{(5 + 5\sqrt[ ]{3})^2}{2} - \displaystyle\frac{25}{4}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2 + \sqrt[ ]{3}) \)

Sumando los catetos:

\( BC = c_2 + c_3 = \displaystyle\frac{5}{2}\sqrt[ ]{3} +  \displaystyle\frac{5}{2}(2 + \sqrt[ ]{3}) = 5 + 5\sqrt[ ]{3} \)

PD. Espero que esté todo bien, no repasé demasiado las cuentas pero como coincide con una de las respuestas supongo que estará bien. :laugh:

PD2. Con el teorema del seno sale bastante más rápido (no caí en que el ángulo que falta sale solo ya que conocemos los otros dos  :laugh:), así que mejor no hagas mucho caso a lo que dije, ya que es innecesariamente enrevesado XD

Saludos.

Muchas Gracias por la ayuda mathtruco, Pie y feriva. Tengo una duda con la solucion de Pie, la medida de \( c_3 \) no es \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} \)??
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

29 Marzo, 2021, 10:44 pm
Respuesta #5

feriva

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Muchas Gracias por la ayuda mathtruco, Pie y feriva. Tengo una duda con la solucion de Pie, la medida de \( c_3 \) no es \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} \)??

Perdona, que dices otra cosa, voy a ver ahora

\( \sqrt{{\displaystyle \frac{(5+5\sqrt{3})^{2}}{2}-{\displaystyle \frac{25}{4}}}}
  \)

Sacando el 5 cuadrado fuera de la raíz

\( 5\sqrt{{\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{2}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}
  \)

desarrollando el cuadrado

\( 5\sqrt{{\displaystyle \frac{(4+2\sqrt{3})}{2}-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}
  \)

cancelando

\( 5\sqrt{{\displaystyle 2+\sqrt{3})-{\displaystyle \frac{1}{4}}}}
  \)

\( 5\sqrt{{\displaystyle \sqrt{3}+{\displaystyle \frac{7}{4}}}}
  \)

A mí me queda así, pero me habré equivocado, porque estoy dormido (ah, es lo mismo, sí)

Saludos.

*Lo del spoiler es que había entendido otra cosa, no vale


Spoiler
No. Tienes:

\( {\displaystyle \frac{5}{2}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{5}{2}(2+\sqrt{3})}}
  \)

Sacando factor común 5/2

\( {\displaystyle \frac{5}{2}(\sqrt{3}+2+\sqrt{3})}
  \)

es decir

\( {\displaystyle \frac{5}{2}(2\sqrt{3}+2)}
  \)

Sacando factor común 2

\( {\displaystyle \frac{5}{2}\cdot2(\sqrt{3}+1)}
  \)

Cancelando el 2

\( {\displaystyle 5(\sqrt{3}+1)}
  \)

Por la distributiva

\( {\displaystyle 5\sqrt{3}+5}
  \)
[/spoiler
]
Saludos.
[cerrar]

30 Marzo, 2021, 01:19 am
Respuesta #6

Pie

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Muchas Gracias por la ayuda mathtruco, Pie y feriva. Tengo una duda con la solucion de Pie, la medida de \( c_3 \) no es \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} \)??

Es lo mismo. \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2+\sqrt[ ]{3}) \)

Lo de feriva también da lo mismo.  :laugh:

Saludos.
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30 Marzo, 2021, 08:54 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Es lo mismo. \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2+\sqrt[ ]{3}) \)

Si. Nótese que:

\( (2+\sqrt{3})^2=2^2+(\sqrt{3})^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=7+4\sqrt{3} \)

Saludos.

30 Marzo, 2021, 11:48 am
Respuesta #8

Pie

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Hola

Es lo mismo. \( \dfrac{5}{2}\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{5}{2}(2+\sqrt[ ]{3}) \)

Si. Nótese que:

\( (2+\sqrt{3})^2=2^2+(\sqrt{3})^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=7+4\sqrt{3} \)

Saludos.

Gracias. Yo la verdad que miré en el Wolfram algunas simplificaciones (incluida esa), si ya es innecesariamente enrevesado así justificando todas las simplificaciones se podría hacer eterno XD, definitivamente mucho mejor utilizar el teorema del seno. :laugh:

PD. Por cierto, aunque sigue siendo más enrevesado que usar el teorema del seno, lo que dije se podría simplificar un poco hayando directamente el cateto \( c_3 \) con la tangente. De hecho no sé porqué no lo hice así, ya que no hace falta hayar la hipotenusa del segundo triángulo (ni usar otra vez Pitágoras, etc..) para nada. ;D

PD2. Bueno, en realidad tampoco hace falta usar Pitágoras para hayar el cateto \( c_2 \), ya que también sale con la tangente (una vez conocido \( c_1 \)) o directamente con el coseno. Creo que de todas las formas posibles de resolverlo, elegí la más rebuscada y poco práctica con diferencia. :laugh:

Saludos.
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