Autor Tema: Área del círculo

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28 Marzo, 2021, 11:56 pm
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Julio_fmat

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En la figura, una circunferencia pasa a través de dos vértices adyacentes de un cuadrado, y es tangente a uno de sus lados. Si el lado del cuadrado es \( 3 \), ¿cuál es el área de la circunferencia?

A) \( \dfrac{9}{4}\pi \)

B) \( \dfrac{16}{9}\pi \)

C) \( 6\pi \)

D) \( \dfrac{36}{25}\pi \)

E) \( \dfrac{225}{64}\pi \)


Hola, es un problema básico. Pero quisiera saber el método de resolución. Muchas gracias.

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

29 Marzo, 2021, 12:44 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Yo primero calcularía el angulo cuyo vértice esta en la intersección entre la circunferencia y el cuadrado, entre un lado del cuadrado y el punto de tangencia dela circunferencia
\(


\tan \theta =\dfrac{L/2}{L} =1/2 \)


como el segmento entre el vértice y el punto de tangencia es una cuerda, el mismo angulo habrá hasta un segmento que una el centro de la circunferencia con el vértice,
por lo que el complemento faltante es el angulo entre el otro lado y el centro de la circunferencia.


\( \beta = 90-2\theta \)


la distancia entre el lado y el centro de la circunferencia es x


\( \tan \beta =\dfrac{x}{L/2} \)






de donde \( x = 3/4 \)


por lo que el radio es \( R=3-x=15/8 \)
 
como el area del circulo es \( A=\pi R^2=\pi \dfrac{225}{64} \)


respuesta e)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

29 Marzo, 2021, 11:32 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
¿cuál es el área de la circunferencia?

He cambiado el título inicial Área de la circunferencia por Área del círculo.

29 Marzo, 2021, 12:26 pm
Respuesta #3

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Sonaba extraño pero no me di cuenta...ya he corregido mi gazapo.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

29 Marzo, 2021, 01:19 pm
Respuesta #4

feriva

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Es posible que me equivoque, pero se me ocurre esto (no me he equivocado)



Centrando la circunferencia en (0,0) tenemos que podemos dibujar un trapecio tal como se ve. Ese triángulo de fuera, en con líneas verdes entrecortadas, es el mismo que indica la flecha verde al otro lado; luego la mitad del área del cuadrado equivale al área de ese trapecio.

El área del trapecio es base mayor más base menor (que es el radio) partido de 2, y todo multiplicado por la altura.

Conocemos todo menos la distacia de “a” y el radio. Entonces tenemos:

La base mayor es el lado del cuadrado más “a”, 3+a, la altura b=3/2; entonces, y el área del trapecio \( \dfrac{9}{2}
  \); así pues:

\( \dfrac{3+a+r}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}
  \)

de donde \( a=3-r
  \).

Ahora tenemos también que \( a^{2}+b^{2}=r^{2}
  \)

Es decir, operando

Spoiler

\( (3-r)^{2}+(\dfrac{3}{2})^{2}=r^{2}
  \)

\( 9+r^{2}-6r+\dfrac{9}{4}=r^{2}
  \)

\( 9(1+\dfrac{1}{4})=6r
  \)

\( 3(\dfrac{5}{4})=2r
  \)

[cerrar]

\( r=\dfrac{15}{8}
  \)

Luego el área será \( (\dfrac{15}{8})^{2}\pi=\dfrac{225}{64}\pi
  \)

No me he equivocado, parece, me da lo mismo que a Richard.

Saludos.

29 Marzo, 2021, 02:10 pm
Respuesta #5

sugata

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29 Marzo, 2021, 04:02 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 También se puede hacer por la potencia del punto P respecto de la circunferencia. Se tiene que:



\( (2r-L)L=(L/2)^2 \)

 De donde:

\(  r=\dfrac{5L}{8}=\dfrac{15}{8} \)

 y de ahí el área es inmediata.

Saludos.

29 Marzo, 2021, 04:39 pm
Respuesta #7

sugata

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Hola

 También se puede hacer por la potencia del punto P respecto de la circunferencia. Se tiene que:



\( (2r-L)L=(L/2)^2 \)

 De donde:

\(  r=\dfrac{5L}{8}=\dfrac{15}{8} \)

 y de ahí el área es inmediata.

Saludos.

El video que adjunto no lo he visto. Recuerdo que puse uno igual de mejor sonido, y si mal no recuerdo, estaba esa resolución....
A ver si lo encuentro, porque recuerdo haberlo puesto por aquí...

29 Marzo, 2021, 08:23 pm
Respuesta #8

Julio_fmat

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Es posible que me equivoque, pero se me ocurre esto (no me he equivocado)



Centrando la circunferencia en (0,0) tenemos que podemos dibujar un trapecio tal como se ve. Ese triángulo de fuera, en con líneas verdes entrecortadas, es el mismo que indica la flecha verde al otro lado; luego la mitad del área del cuadrado equivale al área de ese trapecio.

El área del trapecio es base mayor más base menor (que es el radio) partido de 2, y todo multiplicado por la altura.

Conocemos todo menos la distacia de “a” y el radio. Entonces tenemos:

La base mayor es el lado del cuadrado más “a”, 3+a, la altura b=3/2; entonces, y el área del trapecio \( \dfrac{9}{2}
  \); así pues:

\( \dfrac{3+a+r}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}
  \)

de donde \( a=3-r
  \).

Ahora tenemos también que \( a^{2}+b^{2}=r^{2}
  \)

Es decir, operando

Spoiler

\( (3-r)^{2}+(\dfrac{3}{2})^{2}=r^{2}
  \)

\( 9+r^{2}-6r+\dfrac{9}{4}=r^{2}
  \)

\( 9(1+\dfrac{1}{4})=6r
  \)

\( 3(\dfrac{5}{4})=2r
  \)

[cerrar]

\( r=\dfrac{15}{8}
  \)

Luego el área será \( (\dfrac{15}{8})^{2}\pi=\dfrac{225}{64}\pi
  \)

No me he equivocado, parece, me da lo mismo que a Richard.

Saludos.

Muchas Gracias Richard, feriva, sugata y Luis. Tengo una duda con la solucion de feriva... ¿como se sabe que la altura es \( \dfrac{3}{2} \)?, y como se sabe que el area del trapecio es \( \dfrac{9}{2} \)?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

30 Marzo, 2021, 01:24 am
Respuesta #9

Julio_fmat

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Hola, alguien sabe?  :banghead:
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