Autor Tema: Base local

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28 Marzo, 2021, 05:10 pm
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cristianoceli

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Hola tengo dudas con este ejercicio

Demuestre que los intervalos cerrados \( [−2^{ − n}, 2 {− n}], n \in \mathbb{N} \), forman una base local de vecindades alrededor de \( 0 \) en la topología euclidiana en \( \mathbb{R} \)

Entiendo que una base para una topología es la unión arbitraria de los elementos de la topología y para comprobarlo debemos probar dos cosas:

-Para todo \( x \in X \) existe \( B \) tal que \( x \in B \).
-Si \( x \in B_1 \cap B_2 \) entonces existe \( B_3 \) tal que \( x\in B_3 \) y \( B_3 \subset B_1 \cap B_2 \).

Pero no se como porbarlo.

Saludos

28 Marzo, 2021, 05:19 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Entiendo que una base para una topología es la unión arbitraria de los elementos de la topología y para comprobarlo debemos probar dos cosas:

-Para todo \( x \in X \) existe \( B \) tal que \( x \in B \).
-Si \( x \in B_1 \cap B_2 \) entonces existe \( B_3 \) tal que \( x\in B_3 \) y \( B_3 \subset B_1 \cap B_2 \).

Eso sería para una base topológica, aquí te piden que compruebes que tal colección de conjuntos es una base de vecindades del cero dentro de la topología estándar de \( \mathbb{R} \). Una base de vecindades de un punto es una colección de vecindandes del punto tales que, dada cualquier vecindad del punto siempre existe un vecindad básica contenida en ella. En fórmulas: si \( \mathcal{B}(0) \) es una base de vecindades del cero entonces, dada cualquier vecindad del cero \( V \), existe un \( U\in \mathcal{B}(0) \) tal que \( U\subset V \).

28 Marzo, 2021, 05:53 pm
Respuesta #2

cristianoceli

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Entiendo que una base para una topología es la unión arbitraria de los elementos de la topología y para comprobarlo debemos probar dos cosas:

-Para todo \( x \in X \) existe \( B \) tal que \( x \in B \).
-Si \( x \in B_1 \cap B_2 \) entonces existe \( B_3 \) tal que \( x\in B_3 \) y \( B_3 \subset B_1 \cap B_2 \).

Eso sería para una base topológica, aquí te piden que compruebes que tal colección de conjuntos es una base de vecindades del cero dentro de la topología estándar de \( \mathbb{R} \). Una base de vecindades de un punto es una colección de vecindandes del punto tales que, dada cualquier vecindad del punto siempre existe un vecindad básica contenida en ella. En fórmulas: si \( \mathcal{B}(0) \) es una base de vecindades del cero entonces, dada cualquier vecindad del cero \( V \), existe un \( U\in \mathcal{B}(0) \) tal que \( U\subset V \).

Entiendo muchas gracias me quedó claro.


Saludos