Autor Tema: Circunferencias osculatrices concurrentes

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27 Marzo, 2021, 07:55 pm
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mxxny

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Hola, tengo el siguiente enunciado:

"Calcular todas las curvas planas (con curvatura positiva) que cumplen que todas las circunferencias osculatrices son concurrentes (tienen un punto en común)."

¿Podría alguien ayudarme a plantearlo?
Muchas gracias por adelantado.

27 Marzo, 2021, 10:22 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, tengo el siguiente enunciado:

"Calcular todas las curvas planas (con curvatura positiva) que cumplen que todas las circunferencias osculatrices son concurrentes (tienen un punto en común)."

¿Podría alguien ayudarme a plantearlo?
Muchas gracias por adelantado.

Considera que la curva \( \alpha(s) \) está parametrizada por el parámetro longitud de arco. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el punto común a las osculatrices es el origen (sin más que aplicar una traslación en otro caso).

Entonces el centro de la circunferencia osculatriz es:

\( C(s)=\alpha(s)+r(s)N(s) \)

siendo \( r(s)=\dfrac{1}{\kappa(s)} \) el radio de curvatura y \( N(s) \) el vector normal. Si el origen pertenece a todas las circunferencias oscultarices significa que:

\( \|C(s)\|^2=r(s)^2 \)

Derivando:

\( C(s)\cdot C'(s)=r(s)r'(s) \)  (*)

donde:

\( C'(s)=\alpha'(s)+r'(s)N(s)+r(s)N'(s)=T(s)+r'(s)N(s)-T(s)=r'(s)N(s) \)

(hemos usado que paras curvas planas \( N'(s)=-\kappa(s)T(s) \))

Entonces en (*) queda:

\( r'(s)C(s)\cdot N(s)=r'(s)r(s) \)

1) Si \( r'(s)=0 \) entonces la curvatura y el radio de curvatura son constantes y de (*) el centro de las circunferencias osculatrices es constante (por tener derivada \( C'(s) \) nula). La curva está contenida entonces en una circunferencia.

2)  Si \( r'(s)\neq 0 \) queda:

\( C(s)\cdot N(s)=r(s) \)

Como \( \|C(s)\|=r(s) \) y \( \|N(s)\|=1 \) necesariamente son vectores paralelos, en particular C(s)=r(s)N(s) y por tanto \( \alpha(s) \) es constante: la curva es un punto.

Saludos.

28 Marzo, 2021, 01:24 pm
Respuesta #2

mxxny

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Muchas gracias, Luis Fuentes, he entendido todo, excepto la parte final, en la que, si $$r'(s) \neq 0$$ entonces la curva deberá ser un punto. No entiendo bien cómo llegamos a esa conclusión, pues el radio de la circunferencia osculatriz y el vector normal van a ser paralelos para todo $$s$$ que tomemos, eso lo entiendo, pero, ¿cómo llegamos a que $$C(s)=r(s)N(s)$$?

Gracias de nuevo.

29 Marzo, 2021, 03:50 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas gracias, Luis Fuentes, he entendido todo, excepto la parte final, en la que, si $$r'(s) \neq 0$$ entonces la curva deberá ser un punto. No entiendo bien cómo llegamos a esa conclusión, pues el radio de la circunferencia osculatriz y el vector normal van a ser paralelos para todo $$s$$ que tomemos, eso lo entiendo, pero, ¿cómo llegamos a que $$C(s)=r(s)N(s)$$?

Tenemos:

\( C(s)\cdot N(s)=r(s) \)

y además \( \|C(s)\|=r(s) \) y \( \|N(s)\|=1 \). Por tanto:

\( r(s)=C(s)\cdot N(s)=\|C(s)\|\|N(s)\|cos\angle (C(s),N(s))=r(s)cos\angle (C(s),N(s)) \)
c
de donde \( cos\angle (C(s),N(s))=1 \), es decir, \( C(s) \) es paralelo a \( N(s) \). Como \( \|C(s)\|=r(s) \) y \( \|N(s)\|=1 \), en concreto \( C(s)=r(s)N(s) \).

Saludos.

29 Marzo, 2021, 04:08 pm
Respuesta #4

mxxny

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Ah, ¡claro! Ahora sí lo he entendido por completo. Muchas gracias de nuevo.