Autor Tema: Semejanza de triangulos 7

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26 Marzo, 2021, 09:57 pm
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Julio_fmat

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Sean los triángulos \( \triangle ABC \) y \( \triangle EDC \). Si \( \overline{ED}\parallel \overline{AB} \), entonces muestre que \( \dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}=\dfrac{e}{f}=k \). Tambien, muestre que \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \).



Hola, la segunda propiedad me es clara. La primera no me queda claro porqué en los denominadores es \( a+b \) y \( c+d \).

"Haz de las Matemáticas tu pasión".

26 Marzo, 2021, 10:04 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sean los triángulos \( \triangle ABC \) y \( \triangle EDC \). Si \( \overline{ED}\parallel \overline{AB} \), entonces muestre que \( \dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}=\dfrac{e}{f}=k \). Tambien, muestre que \( \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \).



Hola, la segunda propiedad me es clara. La primera no me queda claro porqué en los denominadores es \( a+b \) y \( c+d \).

Simplemente ten en cuenta que los triángulos  \( \triangle ABC \) y \( \triangle EDC \) son semejantes.

Saludos.

26 Marzo, 2021, 10:09 pm
Respuesta #2

Julio_fmat

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Gracias, pero me cuesta plantear las proporciones..., como queda?
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

26 Marzo, 2021, 10:39 pm
Respuesta #3

feriva

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Gracias, pero me cuesta plantear las proporciones..., como queda?

Es que es directo prácticamente; puedes verlo así:

\( \dfrac{a}{e}=\dfrac{a+b}{f}\Rightarrow{\color{blue}\dfrac{f}{e}}=\dfrac{a+b}{a}
  \)

\( \dfrac{c}{e}=\dfrac{c+d}{f}\Rightarrow{\color{blue}\dfrac{f}{e}}=\dfrac{c+d}{c}
  \)

\( \dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}
  \)

Son dos tiriángulos semejantes encajados, el grande encierra al otro, de ahí que se tome esa suma proporcionalmente a uno de su “trozos”.

Si quieres piénsalo con la razón de semejanza.

El triángulo pequeño es tal que si multiplicas sus lados por un mismo valor constante te da el grande; porque tiene exactamente la misma forma, lo que haces es agrandarlo con el “zoom”; entonces

\( a+b=ka
  \)

\( c+d=kc
  \)

\( f=ke \)

Bueno, en la solución que te dan usan la razón que reduce el triángulo grande al pequeño, entonces mi "k" en realidad, respecto de tu problema, es 1/k; pero vamos, no importa mucho, se ve igual la semejanza.

Saludos.