Autor Tema: Espacio uniforme totalmente acotado

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25 Marzo, 2021, 11:34 pm
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JordiMath

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Según la definición que veo en Topología de Carlos Ivorra (página 116), un espacio uniforme \( X \) es totalmente acotado si para toda banda \( V \) de \( X \) existe un subconjunto finito \( A\subset{X} \) tal que \( X=V[A] \), que no es más que cubrir todo el espacio con bolas de radio \( V \) y centro en un número finito de puntos.

Pero si por ejemplo \( X=(0,1) \) en \( \mathbb{R} \) y \( V \) es la banda diagonal entonces para cubrir todo el espacio necesitaríamos tantas bolas como puntos, ¿no? Y hay infinitos puntos en el intervalo. Pero entonces no se cumpliría la definición para toda banda \( V \) de \( X \), ¿no?

26 Marzo, 2021, 12:06 am
Respuesta #1

geómetracat

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Sí, pero ten en cuenta que si la banda diagonal pertenece a la uniformidad entonces ésta es discreta. Es decir, \[ (0,1) \] con la uniformidad discreta no es totalmente acotado.

Pero si consideras \[ (0,1) \] con la uniformidad inducida por la métrica usual sí lo es. Basta probarlo para las bandas \[ V_\epsilon \] con \[ \epsilon>0 \]. Pero dado un \[ \epsilon>0 \] fijado no es difícil ver que existe un conjunto finito de puntos de \[ (0,1) \] tales que cualquier punto de \[ (0,1) \] dista menos de \[ \epsilon \] de uno de esos puntos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Marzo, 2021, 02:37 pm
Respuesta #2

JordiMath

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Pero entonces la definición debería matizarse, ¿no? ¿No debería decir “para toda banda V de X (distinta de la banda diagonal)”?

26 Marzo, 2021, 02:41 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Pero entonces la definición debería matizarse, ¿no? ¿No debería decir “para toda banda V de X (distinta de la banda diagonal)”?

No, es que "para toda banda de X" significa "para toda banda de la uniformidad de X". No es que tengas que excluir la diagonal en particular, es que sólo tienes que considerar bandas de la uniformidad de X.

Es como si en un espacio métrico dices "Para toda bola abierta de X", se entiende que es toda bola abierta respecto de la distancia de X, no respecto de otra distancia, por ejemplo, la métrica discreta, que haría que los puntos fueran bolas abiertas.

26 Marzo, 2021, 03:01 pm
Respuesta #4

JordiMath

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Vale, entendido. Muchas gracias.