Autor Tema: Difeomorfismo.

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25 Marzo, 2021, 06:05 pm
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S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola todos. Tengo lo siguiente.(\( \color{red}Corregido \))

Sea \( S^{2} \) la esfera unitaria con centro en cero y \( E= \{(x,y,z)\in R^{3}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\} \), sea \(  \phi: S^{2}\rightarrow{E} \) una funcion dada por la intersección de \( E \) con la recta que va desde el origen a un punto de \( S^{2} \), pruebe que \(  \phi \) es un difeomorfismo.

Intento de solución:

Sea \( l \) la recta que va desde el origen hasta un punto p de  \( S^{2} \)  esto es: \( l = t(x,y,z), t \in [0, \infty) \). Ahora de \(  l\cap{S^{2}} \) se tiene que \( t =\frac{1}{\color{red}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}} \) luego \( \phi \) es dada por:  \( \phi(p)= \left(\frac{x}{\color{red}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}}, \frac{y}{\color{red}\sqrt {\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}}, \frac{z}{\color{red}\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}}\right) \).

No estoy seguro de que sea un difeomorfismo, no puedo probar sobreyectividad.  ¿Puedo eliminar \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \) ya que son puntos del elipsoide? ¿O no se puede?
Gracias.

25 Marzo, 2021, 07:06 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola todos. Tengo lo siguiente.

Sea \( S^{2} \) la esfera unitaria con centro en cero y \( E= \{(x,y,z)\in R^{3}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1\} \), sea \(  \phi: S^{2}\rightarrow{E} \) una funcion dada por la intersección de \( E \) con la recta que va desde el origen a un punto de \( S^{2} \), pruebe que \(  \phi \) es un difeomorfismo.

Intento de solución:

Sea \( l \) la recta que va desde el origen hasta un punto p de  \( S^{2} \)  esto es: \( l = t(x,y,z), t \in [0, \infty) \). Ahora de \(  l\cap{S^{2}} \) se tiene que \( t =\frac{1}{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}} \) luego \( \phi \) es dada por:  \( \phi(p)= \left(\frac{x}{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}, \frac{y}{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}, \frac{z}{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}\right) \).

No estoy seguro de que sea un difeomorfismo, no puedo probar sobreyectividad.  ¿Puedo eliminar \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \) ya que son puntos del elipsoide? ¿O no se puede?
Gracias.

En realidad es: \( \color{red}t^2\color{black}=\dfrac{1}{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}} \)

Y por tanto te queda:

\( \phi(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}}(x,y,z) \)

Para ver tanto la inyectividad como la sobreyectividad puedes calcular explícitamente la inversa. Se construye igualmente uniendo un punto del elipsoide con el centro y cortando con la esfera. Te queda:

\( \phi^{-1}(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) \)

Saludos.

25 Marzo, 2021, 10:46 pm
Respuesta #2

S.S

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Hola Luis, gracias por la respuesta, tiene razón en lo referente a:

Hola

En realidad es: \( \color{red}t^2\color{black}=\dfrac{1}{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}} \)

Y por tanto te queda:

\( \phi(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}}}(x,y,z) \)

Para ver tanto la inyectividad como la sobreyectividad puedes calcular explícitamente la inversa. Se construye igualmente uniendo un punto del elipsoide con el centro y cortando con la esfera. Te queda:

\( \phi^{-1}(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) \)

Saludos.

Lo que no me queda claro es la inversa ¿ qué sucedió con lo números \( a, b, c \)?
Gracias de nuevo.

26 Marzo, 2021, 09:37 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Lo que no me queda claro es la inversa ¿ qué sucedió con lo números \( a, b, c \)?
Gracias de nuevo.

¿Pero has entendido cómo la calculo y has hecho las cuentas?.

Si la aplicación \( \phi \) funciona tomando un punto \( P\in S^1 \) y llevándolo en el punto \( P' \) igual a la intersección de la recta \( OP \) con el elipsoide, dado el punto \( P' \) la recta \( OP' \) es la misma que la recta \( OP \) y por tanto \( P \) se recupera intersecando la recta \( OP' \) con la esfera \( S^2. \) Si haces eso algebraicamente te da la fórmula que te indiqué.

También podemos comprobar a mano que efectivamente una es inversa de la otra.

Dado \( (x_0,y_0,z_0)\in S^2 \) si aplicamos \( \phi \) queda:

\( (x_1,y_1,z_1)=\phi(x_0,y_0,z_0)=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}}}(x_0,y_0,z_0) \)

Si ahora le aplicamos \( \phi^{-1} \):

\( \phi^{-1}(x_1,y_1,z_1)=\dfrac{1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}}(x_1,y_1,z_1) \)

donde:

\( \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}=\dfrac{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}{\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}}} \)

Como \( (x_0,y_0,z_0)\in S^1 \) el numerador de esa fracción es \( 1 \) y:

\( \phi^{-1}(x_1,y_1,z_1)=\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}}}(x_0,y_0,z_0)=(x_0,y_0,z_0) \)

Recíprocamente dado \( (x_0,y_0,z_0)\in E \) si le aplicamos \( \phi^{-1} \) queda:

\( (x_1,y_1,z_1)=\phi^{-1}(x_0,y_0,z_0)=\dfrac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}(x_0,y_0,z_0) \)

Y si le aplicamos \( \phi \):

\( \phi(x_1,y_1,z_1)=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}+\frac{z_1^2}{c^2}}}(x_1,y_1,z_1) \)

donde:

\( \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}+\frac{z_1^2}{c^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}} \)

Como \( (x_0,y_0,z_0)\in E \) se tiene que \( \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1 \), y por tanto:

\( \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}+\frac{z_1^2}{c^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}} \)

Entonces:

\( \phi(x_1,y_1,z_1)=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}+\frac{z_1^2}{c^2}}}(x_1,y_1,z_1)=\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}(x_1,y_1,z_1)=\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}}(x_0,y_0,z_0)=(x_0,y_0,z_0) \)

Saludos.

29 Marzo, 2021, 01:01 am
Respuesta #4

S.S

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Hola Luis, gracias por la respuesta. Ya entiendo (no había interiorizado), pero por el comentario siguiente comprendí que es solo hacer el mismo proceso de la proyección  estereográfica que se encuentra en Do Carmo como ejercicio. :banghead:

Si la aplicación \( \phi \) funciona tomando un punto \( P\in S^1 \) y llevándolo en el punto \( P' \) igual a la intersección de la recta \( OP \) con el elipsoide, dado el punto \( P' \) la recta \( OP' \) es la misma que la recta \( OP \) y por tanto \( P \) se recupera intersecando la recta \( OP' \) con la esfera \( S^2. \) Si haces eso algebraicamente te da la fórmula que te indiqué.


Gracias de nuevo.