Autor Tema: parametrización de una curva.

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21 Marzo, 2021, 11:49 pm
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S.S

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Hola a todos, tengo el siguiente problema.

Si \( C_{1},C_{2} \) son curvas en la superficie \( S \) tangentes en el punto p y \( \phi: S\rightarrow{S} \) un difeomorfismo, entonces \( \phi(C_{1}), \color{red}\phi( {C_{2}}) \) son curvas regulares.

Mi posible respuesta es considerar \( \alpha: I \rightarrow{V\cap{C_{1}}} \) una parametrización de \( C_{1} \)  y la afirmación es que: \( \phi\circ \alpha: I \rightarrow{\bf \phi(V\cap{C_{1}})} \) es una parametrización de \( \phi(C_{1}) \). Mis justificaciones:
1. \( \phi\circ \alpha: I \rightarrow{\phi(V\cap{C_{1}})} \) es diferennciable pues es composición de diferenciables.
2. \( \phi\circ \alpha: I \rightarrow{\phi(V\cap{C_{1}})} \) es homeomorfismo pues es composición de homeomorfismos.
3. Es es la que no puedo, no se como justificar que la "derivada" es inyectiva.
Otra cuestión es el codominio de de \( \phi\circ \alpha \) no sé si este errado. Gracias.

22 Marzo, 2021, 10:17 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola a todos, tengo el siguiente problema.

Si \( C_{1},C_{2} \) son curvas en la superficie \( S \) tangentes en el punto p y \( \phi: S\rightarrow{S} \) un difeomorfismo, entonces \( \phi(C_{1}), \phi(C_{1}) \) son curvas regulares.

Hay algo raro en el enunciado. Entiendo que la curva \( C_2 \) no pinta nada, ¿no?. Y tampoco la tangencia en el punto \( p \).

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Mi posible respuesta es considerar \( \alpha: I \rightarrow{V\cap{C_{1}}} \) una parametrización de \( C_{1} \)  y la afirmación es que: \( \phi\circ \alpha: I \rightarrow{\bf \phi(V\cap{C_{1}})} \) es una parametrización de \( \phi(C_{1}) \). Mis justificaciones:
1. \( \phi\circ \alpha: I \rightarrow{\phi(V\cap{C_{1}})} \) es diferennciable pues es composición de diferenciables.
2. \( \phi\circ \alpha: I \rightarrow{\phi(V\cap{C_{1}})} \) es homeomorfismo pues es composición de homeomorfismos.

Bien.

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3. Es es la que no puedo, no se como justificar que la "derivada" es inyectiva.

La diferencial es la composición de la diferencial de \( \alpha \) con la diferencial de \( \phi \); está última es un isomorfismo, por ser la aplicación difeomorfismo y por tanto al componer con él conserva la inyectividad.

Saludos.

22 Marzo, 2021, 01:23 pm
Respuesta #2

S.S

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Hola Luis, gracias por la respuesta.

Ya corregí lo de la curva.

23 Marzo, 2021, 01:48 am
Respuesta #3

S.S

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Hola de nuevo en el hilo, es que me surgieron dos nuevas preguntas.

1. Con lo afirmado de la matriz jacobiana de  un difeomorfismo, quise usarlo para probar el teorema de la función inversa, pero ahora para funciones con dominio y codominio una superficie, esto es: Sea \( f: V \subset S_{1}\rightarrow{S_2} \) una función diferencial en un punto \(  p\in V  \) V aberto en \( S_{1} \) y tal que \( df_{p} \) es un isomorfismo, entonces existen entornos de \( p \) y \( f(p) \) tal que f resticta a estos entornos es un difeomormiso en p.  El intento de prova es el siguiente:  Sea \( x: U \subset \mathbb{R}^2\rightarrow{S_{1}} \) y \( \bar{x}: \bar{U} \subset \mathbb{R}^2\rightarrow{S_{2}} \) parametrizaiones de \( S_{1} \) en \( p \) y \( S_{2} \) en \( f(p) \) respetivamente, luego es considerar la composición: \( \bar{x}^{-1}\circ f \circ x: U\rightarrow{\bar{U}}  \) usar el teorema de la función inversa para funciones en \( \mathbb{R}^2 \) ja que la diferencial de esta composición es injectiva.

2. Esto tiene que ver con un punto de la prueba, tengo la siguiente afirmación pero no  puedo hacer la prueba: Si \( \alpha: I \subset \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) y \( \beta: J \subset \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) y existe \( t_{0} \in I \) y \( s_{0}\in J \), tal que \( \alpha(t_{0}) = \beta(s_{0}) \), entonces \( \alpha^{\prime}(t_{0}) =\lambda \beta^{\prime}(s_{0}) \) \(  \lambda \in \mathbb{R} \).

Gracias.

23 Marzo, 2021, 09:02 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

1. Con lo afirmado de la matriz jacobiana de  un difeomorfismo, quise usarlo para probar el teorema de la función inversa, pero ahora para funciones con dominio y codominio una superficie, esto es: Sea \( f: V \subset S_{1}\rightarrow{S_2} \) una función diferencial en un punto \(  p\in V  \) V aberto en \( S_{1} \) y tal que \( df_{p} \) es un isomorfismo, entonces existen entornos de \( p \) y \( f(p) \) tal que f resticta a estos entornos es un difeomormiso en p.  El intento de prova es el siguiente:  Sea \( x: U \subset \mathbb{R}^2\rightarrow{S_{1}} \) y \( \bar{x}: \bar{U} \subset \mathbb{R}^2\rightarrow{S_{2}} \) parametrizaiones de \( S_{1} \) en \( p \) y \( S_{2} \) en \( f(p) \) respetivamente, luego es considerar la composición: \( \bar{x}^{-1}\circ f \circ x: U\rightarrow{\bar{U}}  \) usar el teorema de la función inversa para funciones en \( \mathbb{R}^2 \) ja que la diferencial de esta composición es injectiva.

Bien. Esa es la idea, es decir, con las cartas trasladar la aplicación en las superficies a una aplicación en \( \Bbb R^2  \)y usar el teorema de la función inversa ahí.

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2. Esto tiene que ver con un punto de la prueba, tengo la siguiente afirmación pero no  puedo hacer la prueba: Si \( \alpha: I \subset \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) y \( \beta: J \subset \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) y existe \( t_{0} \in I \) y \( s_{0}\in J \), tal que \( \alpha(t_{0}) = \beta(s_{0}) \), entonces \( \alpha^{\prime}(t_{0}) =\lambda \beta^{\prime}(s_{0}) \) \(  \lambda \in \mathbb{R} \).

Ahí faltan hipótesis; tal como lo has escrito no es cierto.

Lo que has puesto es que si dos curvas tienen un punto en común entonces los vectores tangentes a cada curva en ese punto son proporcionales; pero eso, sin más condiciones, desde luego no tiene porqué ser cierto.

Saludos.

23 Marzo, 2021, 08:08 pm
Respuesta #5

S.S

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Hola, gracias por la respuesta.

Hice la pregunta, porque una segunda parte del problema de este hilo, me pide mostrar que \( \phi(C_{1}) \) e \( \phi(C_{2}) \) se intersecan en \( \phi(p) \). Encontré este argumento y pensé que esa era la propiedad intrínsica de la prueba. El argumento es el siguiente:

Sea \( \alpha : I \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) y \( \beta : J \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) representaciones de \( C_{1} \) y \( C_{2} \) respectivamente, entoces existen \( t_{0}\in I \) y \( s_{0}\in J \), tal que \( \alpha(t_{0})=p =\beta(s_{0}) \),luego \(  \alpha ^{\prime}(t_{0}) = \lambda \beta^{\prime}(s_{0}) \), posteriormente considera \( \bar{\alpha(t)} =\phi(\alpha(t)) \) y  \( \bar{\beta(s)} = \phi(\beta(s)) \) y con esto prueba que \( \bar{\beta^{\prime}(s_{0})} =\frac{\bar{\alpha^{\prime}(t_{0})}}{\lambda}  \) y concluye lo que se pide.

Por eso propuse esa propiedad. ¿Qué me faltó? :-\ .

Gracias.

24 Marzo, 2021, 10:31 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( \alpha : I \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) y \( \beta : J \rightarrow{\mathbb{R}^3} \) representaciones de \( C_{1} \) y \( C_{2} \) respectivamente, entoces existen \( t_{0}\in I \) y \( s_{0}\in J \), tal que \( \alpha(t_{0})=p =\beta(s_{0}) \),luego \(  \alpha ^{\prime}(t_{0}) = \lambda \beta^{\prime}(s_{0}) \),

Que \(  \alpha ^{\prime}(t_{0}) = \lambda \beta^{\prime}(s_{0}) \) es por hipótesis. Es lo que significa que \( C_1 \) y \( C_2  \)sean tangente es un punto: que sus vectores tangentes en ese punto son dependientes, proporcionales.

Saludos.

25 Marzo, 2021, 05:42 pm
Respuesta #7

S.S

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Hola Luis, gracias por la respuesta. La verdad, lo estaba entiendo en otro sentido. (Que solo se tocaban en un punto).

25 Marzo, 2021, 05:47 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis, gracias por la respuesta. La verdad, lo estaba entiendo en otro sentido. (Que solo se tocaban en un punto).

Si sólo se cortan, los vectores tangentes no tienen porque tener relación alguna. Piensa en dos rectas secantes.

Saludos.