Autor Tema: proyección ortogonal del elipsoide.

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21 Marzo, 2021, 03:12 am
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S.S

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Hola todos.
Resolviendo el siguiente problema no puedo resolver la siguiente igualdad.
Mostrar que la proyecciones ortogonales del centro (0,0,0) del elipsoide en sus planos tangentes constituye una superficie dada por \( \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: (x^{2}+y^{2}+z^{2})^2 = (ax)^2 + (by)^{2} + (cz)^{2} \}- \{(0,0,0)\} \).

Do Carmo da las siguientes sugerencias:
1. Note que la linea que pasa por (0,0,0) y perpendicular al plano es: \(  \dfrac{xa^{2}}{x_0} = \dfrac{yb^{2}}{y_{0} } = \dfrac{zc^2}{z_0} \).

2. De lo anterior se obtiene:  \(  \dfrac{(xa)^{2}}{xx_0} = \dfrac{(yb)^{2}}{yy_{0} } = \dfrac{(zc)^2}{zz_0} ={\bf \dfrac{(xa)^2 + (yb)^2 + (cz)^2}{xx_0 +yy_{0}+zz_0 }} \).

Mi problema reside en no saber de donde sale esa expresión en negrilla, gracias.

21 Marzo, 2021, 08:13 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Mi problema reside en no saber de donde sale esa expresión en negrilla, gracias.

Es una propiedad de las proporciones, se ve muy bien si consideras dos triángulos en posición de Tales. La propiedad dice que si \[ \displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{c}{d}  \] entonces \[ \displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{c} {d} =\displaystyle\frac{a+c}{b+d} \]

En cuanto al enunciado no lo he entendido. ¿Proyectas ortogonalmente un punto sobre un plano y obtienes una superficie?

Un saludo.

21 Marzo, 2021, 08:47 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Mi problema reside en no saber de donde sale esa expresión en negrilla, gracias.

Otra forma de verlo. Si tienes \( \dfrac{x_i}{y_i}=k \) constante para todo \( i=1,2,\ldots,n \) entonces \( x_¡=ky_i \). Sumando:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}x_i=k\displaystyle\sum_{i=1}^n{}y_i \)

y por tanto:

\( \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{}x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{}y_i}=k \)

En cuanto al enunciado no lo he entendido. ¿Proyectas ortogonalmente un punto sobre un plano y obtienes una superficie?

Proyecta ortogonalmente un punto fijo (el centro del elipsoide) sobre cada plano tangente. Cada proyección da un punto y al mover el plano tangente sobre toda el elispoide, una superficie.

Esto es la versión 2D del asunto:


Saludos.

21 Marzo, 2021, 09:34 am
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Proyecta ortogonalmente un punto fijo (el centro del elipsoide) sobre cada plano tangente. Cada proyección da un punto y al mover el plano tangente sobre toda el elispoide, una superficie.

Esto es la versión 2D del asunto:


Vale, ¡claro! Gracias Luis. Ya lo pillo. Parece que hoy me he levantado espeso  ;D.

Un saludo.

21 Marzo, 2021, 01:10 pm
Respuesta #4

S.S

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Hola Martiniano y Luis, gracias por las respuestas, me han sido de gran ayuda. La gráfica me deja mas clara las cuestiones geométricas, que en principio no las tenía muya bien. Gracias.