Autor Tema: Producto de espacios compactos y axioma de elección

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20 Marzo, 2021, 11:20 pm
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JordiMath

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En la página 98 del libro Topología de Carlos Ivorra se expone la demostración del siguiente teorema:

Sea \( \{X_i\}_{i\in{I}} \) una familia de espacios topológicos compactos. Supongamos que I admite un buen orden y que, si I es infinito, existe una función de elección sobre el conjunto de todos los cerrados en todos los espacios \( X_i \). Entonces el producto \( X=\prod_{i\in{I}}X_i \) es compacto.

La demostración es un poco larga y parece un poco compleja y prefiero asegurar que lo estoy entendiendo bien. Supongo que plantearé alguna duda más, pero de momento expongo las que tengo:

1. Se habla del conjunto \( \mathbb{P}=\bigcup_{\beta\leq{\alpha}}X^{\beta} \), donde \( \beta,\alpha \) son ordinales. Tal como lo entiendo, si por ejemplo \( \alpha \) es el ordinal 3, ¿entonces \( \mathbb{P}=X\cup{X^2}\cup{X^3} \)?

2. Luego se define la altura de un \( p\in{\mathbb{P}} \) como el único ordinal \( \beta\leq{\alpha} \) tal que \( p\in{X^{\beta}} \). Entonces, entiendo que si p es un elemento de \( X^2 \) su altura es 2, ¿no?

3. Luego se define \( M(p)=\{x\in{X}|p\subset{x}\} \). Esto lo interpreto como que, por ejemplo, si \( p\in{X^2} \) y p=(a,b) y \( x\in{X^3} \), entonces M(p) son todos los puntos tipo \( (a,b,x_3) \). ¿Es así?

21 Marzo, 2021, 12:44 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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En la página 98 del libro Topología de Carlos Ivorra se expone la demostración del siguiente teorema:

Sea \( \{X_i\}_{i\in{I}} \) una familia de espacios topológicos compactos. Supongamos que I admite un buen orden y que, si I es infinito, existe una función de elección sobre el conjunto de todos los cerrados en todos los espacios \( X_i \). Entonces el producto \( X=\prod_{i\in{I}}X_i \) es compacto.

La demostración es un poco larga y parece un poco compleja y prefiero asegurar que lo estoy entendiendo bien. Supongo que plantearé alguna duda más, pero de momento expongo las que tengo:

1. Se habla del conjunto \( \mathbb{P}=\bigcup_{\beta\leq{\alpha}}X^{\beta} \), donde \( \beta,\alpha \) son ordinales. Tal como lo entiendo, si por ejemplo \( \alpha \) es el ordinal 3, ¿entonces \( \mathbb{P}=X\cup{X^2}\cup{X^3} \)?

 :banghead:   No está bien expresada la definición de \( \mathbb P \). Lo que debería poner es que

\( \displaystyle \mathbb P = \bigcup_{\beta\leq \alpha}\prod_{i\in \beta}X_i \)

Es decir, cada elemento de \( X \) es una aplicación \( x: \alpha\longrightarrow \bigcup\limits_{i\in \alpha}X_i \) tal que, para todo \( i\in \alpha \), \( x(i)\in X_i \), y lo que hacemos es no considerar sólo aplicaciones definidas sobre todo \( \alpha \), sino sobre cualquier ordinal menor.

Si \( \alpha=3 \), entonces \( \mathbb P = X_0\cup (X_0\times X_1)\cup (X_0\times X_1\times X_2) \).

2. Luego se define la altura de un \( p\in{\mathbb{P}} \) como el único ordinal \( \beta\leq{\alpha} \) tal que \( p\in{X^{\beta}} \). Entonces, entiendo que si p es un elemento de \( X^2 \) su altura es 2, ¿no?

Si \( p \) es un elemento de \( X_0\times X_1 \), entonces su altura es \( 2 \).

3. Luego se define \( M(p)=\{x\in{X}|p\subset{x}\} \). Esto lo interpreto como que, por ejemplo, si \( p\in{X^2} \) y p=(a,b) y \( x\in{X^3} \), entonces M(p) son todos los puntos tipo \( (a,b,x_3) \). ¿Es así?

Sí, pero teniendo en cuenta que \( a\in X_0 \), \( b\in X_1 \) y \( x_3\in X_2 \).

Ahora corrijo la definición de \( \mathbb P \).

21 Marzo, 2021, 01:50 am
Respuesta #2

JordiMath

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Vale, muchas gracias. Mañana sigo leyendo la demostración.

21 Marzo, 2021, 09:34 pm
Respuesta #3

JordiMath

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Sigo con la demostración.

Más adelante (página 98, antepenúltimo párrafo), se define el conjunto \( A^{\beta}=A\cap{X^{\beta}} \), que es el conjunto de los elementos de A de altura \( \beta \), donde A es el conjunto de todos los \( p\in{\mathbb{P}} \) tales que M(p) no está contenido en ninguna unión finita de abiertos de \( \mathcal{C} \). \( \mathcal{C} \) es un cubrimiento abierto de X. En definitiva, estamos diciendo que A es el conjunto de todos los p tales que el conjunto de todos los x que los contienen no es compacto, por no tener un subcubrimiento finito. Por eso supongo que basta probar que \( A=\emptyset \).

A partir de ahí se dice que si \( \beta<\alpha \) y \( s\in{A^{\beta}} \), entonces \( C(s)=\{t(\beta)|t\in{A}\wedge s\varsubsetneq{t}\} \) es cerrado en \( X_{\beta} \).

¿Qué elementos tiene C(s)? Por ejemplo, si \( \beta=2 \) y \( s=(a,b), a\in{A_0}, b\in{A_1} \), entiendo que t ha de ser cualquier elemento de A con altura mayor que s (mayor que \( \beta \)) y cuyas primeras dos componentes son a y b, pero ¿qué es \( t(\beta) \)?

21 Marzo, 2021, 10:17 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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En definitiva, estamos diciendo que A es el conjunto de todos los p tales que el conjunto de todos los x que los contienen no es compacto, por no tener un subcubrimiento finito.

No entiendo esa frase.

Por eso supongo que basta probar que \( A=\emptyset \).

Observa que \( \mathbb P \) está formado por funciones de dominio cualquier ordinal \( \beta\leq \alpha \), y eso incluye la función \( p=\emptyset \), de altura \( 0 \), para la cual \( M(p)=M(\emptyset)=X \), pues todos los elementos de \( X \), vistos como funciones de dominio \( \alpha \), contienen a la función \( p=\emptyset \).

Basta probar que \( A=\emptyset \) porque, si se cumple eso, la función \( p=\emptyset\in \mathbb P \) no está en \( A \), lo cual significa que \( X=M(p) \) sí que está contenida en un subcubrimiento finito, y eso es lo que queremos probar.

A partir de ahí se dice que si \( \beta<\alpha \) y \( s\in{A^{\beta}} \), entonces \( C(s)=\{t(\beta)|t\in{A}\wedge s\varsubsetneq{t}\} \) es cerrado en \( X_{\beta} \).

¿Qué elementos tiene C(s)? Por ejemplo, si \( \beta=2 \) y \( s=(a,b), a\in{A_0}, b\in{A_1} \), entiendo que t ha de ser cualquier elemento de A con altura mayor que s (mayor que \( \beta \)) y cuyas primeras dos componentes son a y b, pero ¿qué es \( t(\beta) \)?

\( t(\beta)=t(2) \) es la tercera componente de \( t \). Si \( t=(a, b, c, d, e) \), entonces \( t(0)=a \), \( t(1)=b \), \( t(2)=t(\beta)=c \).