Autor Tema: Espacios compactos (Kuratowski)

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20 Marzo, 2021, 09:14 pm
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JordiMath

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En la página 101 del libro Topología de Carlos Ivorra se expone el ejemplo de la función \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\begin{cases}1/x &\mbox{si }x\neq{0}\\0 &\mbox{si }x=0\end{cases} \)
es discontinua, pero su gráfica es cerrada.

El teorema 4.19 dice si \( f:X\longrightarrow{Y} \) es una aplicación entre espacios topológicos donde Y es de Hausdorff y compacto, entonces f es continua si y solo si es cerrada como subconjunto de \( X\times{Y} \).

Entiendo que al no cumplirse el requisito de la compacidad de Y (que en este caso es \( \mathbb{R} \)), entonces puede no darse la continuidad de f aunque ésta sea cerrada. ¿Es correcto?

20 Marzo, 2021, 09:32 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Sí, eso es. El lado grafo cerrado implica que la aplicación es continua puede fallar si el espacio de llegada no es Hausdorff compacto, como muestra el contraejemplo que has puesto.

En cambio, la otra implicación (si la aplicación es continua entonces su grafo es cerrado) se cumple siempre que el espacio de llegada sea Hausdorff, aunque no sea compacto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

20 Marzo, 2021, 09:40 pm
Respuesta #2

JordiMath

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