[JordiMath]

En la página 97 del libro Topología de Carlos Ivorra se demuestra que \( \prod_{i\in{I}}X_{i}\neq{\emptyset} \) equivale al axioma de elección.

Para ello se construye un espacio topológico \( Y_{i}=X_{i}\cup{\{p\}} \), donde p es cualquier conjunto que no esté en \( \bigcup_{i\in{I}}X_{i} \), con la topología que tiene por cerrados a \( Y_{i} \), \( X_{i} \) y los conjuntos finitos. Y se dice que esa topología no es de Hausdorff si \( X_{i} \) es infinito. ¿Por qué?

[geómetracat]

Sean \[ x,y \in Y_i \], ambos distintos de \[ p \]. Por como está definida la topología, cualquier entorno \[ U \] de \[ x \] (resp. entorno \[ V \] de \[ y \]) es cofinito, es decir, \[ U=Y_i \setminus F \] y \[ V = Y_i \setminus F' \], con \[ F,F' \] finitos. Pero entonces \[ U \cap V = Y_i \setminus (F \cup F') \neq \emptyset \], ya que \[ F \cup F' \] es finito e \[ Y_i \] es infinito.

En conclusión, ningún par de entornos de \[ x,y \] puede ser disjunto, luego la topología no es Hausdorff.

Si en cambio \[ Y_i \] es finito, entonces la topología es la discreta, pues todo subconjunto es cerrado, al ser finito.

[JordiMath]

Muchas gracias.